Welche der folgenden Mengen sind Unterräume von R^3

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Moin, ich brauch einen kleinen Denkanstoß für folgende Aufgabe:

Welche der folgendenden Mengen sind Unterräume von ℝ3:

{(x,y,z)|x+y+z=0}
{(x,y,z)|x*y=z}
{(x,y,z)|x=y=z}

Ich weiß, dass ich zeigen muss bzw widerlegen muss, dass U bezüglich + abgeschlossen ist.(Im ersten Schritt)
In der VL haben wir es so formuliert: x+y∈U, für x,y∈U
Weiß jetzt nicht wie ich da anfangen/vorgehen soll ..
Gefragt 8 Jun 2016 von E.Thi

1 Antwort

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Hallo,

du musst die Untervektorraumkriterien überprüfen, es ist aber etwas unglücklich, dass ihr in der Vorlesung die Vektoren mit x und y bezeichnet und in dieser Übung die Komponenten des Vektors x y z heißen.

Daher sei a=(a1,a2,a3) , b=(b1,b2,b3), a und b∈Ui

Beispiel U1{(x,y,z)|x+y+z=0} :

Als erstes musst du prüfen, ob U ungleich der leeren Menge ist.

Da a=(0,0,0) die Gleichung erfüllt, ist U nichtleer.

Abgeschlossenheit bzgl. Addition: a+b ∈ U1 prüfen:

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3 +b3)

x+y+z=a1+b1+a2+b2+a3 +b3=0+0=0 erfüllt also die Bedingung

Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation: α∈ℝ (oder ℂ je nachdem was ihr gewählt habt) 

α*a=α*(a1,a2,a3) --> x+y+z=α*(a1+a2+a3)=0

--> U1 ist Untervektorraum 

U2={(x,y,z)|x*y=z} 

Der Raum U2 ist nichtleer (Nullvektor z.B enthalten)

Für die Abgeschlossenheit der Addition kann man hier ein

Gegenbeispiel finden: a=(1,2,2), b=(2,4,8)

a,b sind ∈U2, aber a+b=(3,6,10) erfüllt die Bedingung x*y=z nicht.

Also U2 kein Untervektorraum.

Für U3={(x,y,z)|x=y=z} kannst du es jetzt selber probieren.

Beantwortet 8 Jun 2016 von Gast jc2144 Experte X

Vielen Dank ! Wenn Sie mir jetzt noch die letzte Aufgabe für richtig erklären, habe ich es glaube ich verstanden.

Gegeben sei U3 = {(x,y,z)|x=y=z}

Überprüfung der Abgeschlossenheit bzgl der Addition:
U3 ist kein Unterraum, da sich ein Gegenbeispiel finden lässt:
Sei p=(1,1,1) , q=(3,3,3) so sind p,q∈U3 da x=y=z , jedoch p+q∉U3 .

Ich habe die anderen nochmal durchgerechnet und habe eine kleine " Notations-Frage"

Sie haben bei U1 die Vektoren mit a und b bezeichnet -> a=(a1,a2,a3)  b=(b1,b2,b3) in diesem Fall stehen ja die Zahlen 1,2,3 für die Variablen x,y,z aus der Aufgabe ..
wäre es meinerseits falsch/sehr falsch, wenn ich statt a=(a1,a2,a3) a=(x1,y1,z1) und für b=(x2,y2,z2) schreiben würde, ich glaube das war nämlich Anfangs mein größtes Problem..

Du kannst die Komponenten auch gerne mit x1 , y1 , z1 bezeichnen, das ist kein Problem.

Aber dein Gegenbeispiel funktioniert nicht, da p+q= (4,4,4) und das erfüllt x=y=z.

Bei U3 handelt es sich um einen Unterraum, das kannst du mit den selben Rechenschritten wie bei U1 zeigen.

Anschaulich gesehen handelt es sich bei U1 um eine Ebene die durch den Ursprung geht und bei U3 um eine Urpsrungsgeraden, solche Räume sind immer Untervektorräume.

"klick klick" alles klar, nun hat das Lämpchen Saft da oben besten Dank !

Ok, ich dachte nur da es heißt p= , dass sich das dann auf das p beziehen muss also p=(p1,p2,p3)

Dann zum überprüfen der Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation:

für λ∈ℝ  und (x,y,z)∈U gilt   λ(x,y,z)=(λ*x,λ*y,λ*z) ∈U, da λ*x=λ*y=λ*z

somit sind alle drei Bedingungen erfüllt und U3 ist ein Unterraum.


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