Zeigen Sie, dass die Darstellungsmatrix von T = der Vandermonde-Matrix

Question

Hallo, wie kann ich das beweisen?

Es seien \( a_{0}, \ldots, a_{n-1} \) verschiedene reelle Zahlen. Die Matrix
$$ V_{n}=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & a_{0} & a_{0}^{2} & \cdots & a_{0}^{n-1} \\ 1 & a_{1} & a_{1}^{2} & \cdots & a_{1}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n-2} & a_{n-2}^{2} & \cdots & a_{n-2}^{n-1} \\ 1 & a_{n-1} & a_{n-1}^{2} & \cdots & a_{n-1}^{n-1} \end{array}\right) $$
heißt Vandemonde-Matrix.
Es sei \( T: \mathbb{R}_{k}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{k+1} \) die durch die Formel \( T(p)=\left(p\left(a_{0}\right), \ldots, p\left(a_{k}\right)\right)^{\mathrm{T}} \) definierte
lineare Abbildung. Zeigen Sie: Die Darstellungsmatrix von \( T \) bezüglich der üblichen Basen für \( \mathbb{R}_{k}[x] \) und \( \mathbb{R}^{k+1} \) ist die Vandermonde-Matrix \( V_{k+1} \).

Answer 1

Hallo,

also erstmal sind deine Basen Rk[x]=(1,x,x²,...,x^k-1,x^k) und R^k+1[x]=(e1,e,2,e,3,......,ek, ek+1). Und wir wissen ja, dass

ej=(0 | 0 | 0 |.....|1| ...| 0 | 0 ). Also ist in dem Vektor alles null, bis auf das j-te Vektor, welcher 1 ist. Also setzt du die Basen von Rk in die Formel T(p) ein. Zum Beispiel für p(x)=1 wäre es (1,1,1,1,...,1,1,1), für p(x)=x wäre es (a0, a1,a2,...,ak), für p(x)² wäre es (a0^2,a1^2,a2²,....,ak²) usw. Dadurch bekommst du neue Vektoren raus. Diese Vektoren musst du dann durch die Vektoren von R^k+1 darstellen. Mit den Koeffizienten, die du bei der Rechnung benutzt, sind die Werte deiner Matrix