Mit Definition zeigen, dass (an) = (4n-1)/(1-2n) Grenzwert -2 hat.

Question

Aufgabe:

\( \left|\frac{4 n-1}{1-2 n}-(-2)\right|<\mathcal{E} \)

Ich soll mit der Definition des Grenzwertes den Grenzwert -2 bestätigen.

Ich steh auf dem Schlauch, hab schon einige dieser Aufgaben gemacht.

Bei dieser hier hängts. Muss ich da eine Fallunterscheidung (Betragsauflösung) machen? Ich kann ja mit meinen Werten ins Negative kommen.

Comments

Mach vielleicht erst mal aus dem Term im Betrag einen einzigen möglichst einfachen Bruch.

(4n-1)/(1-2n) -( -2) = (4n-1)/(1-2n) + 2

=  (4n-1)/(1-2n) + 2(1-2n)/(1-2n)

=  (4n-1)/(1-2n) + (2-4n)/(1-2n)
= (4n-1+ 2-4n)/(1-2n)

= 1/(1-2n)

(ohne Gewähr)

Nun hast du

|1/(1-2n)| < ε

Answer 1

Erstmal zusammenfassen:

$$|\frac{4n-1}{1-2n} + 2| = | \frac{4n-1+2(1-2n)}{1-2n} | = | \frac{1}{1-2n} | = \frac{1}{|1-2n|}$$

Da n > 0 ist, ist 1-2n immer kleiner 0. Also ist

$$\frac{1}{|1-2n|} = \frac{1}{2n-1}$$

Und weiter:

$$\frac{1}{2n-1} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} < 2n-1 \Leftrightarrow n > \frac{1}{2 \epsilon} + \frac{1}{2}$$

Also definiere

$$n_0(\epsilon) := ceil( \frac{1}{2 \epsilon} + \frac{1}{2} ) + 1$$

Mit ceil meine ich die Aufrundungsfunktion.