Seien f,g (stetig) : IR → IR und f(x) = g(x) für alle x Elemente IQ Zeige: f(x) = g(x) für alle x Elemente IR Analog: f(x) = g(x) für alle x mit 0 < (x-a) < δ ⇒ f(a) = g(a) Kann mir jemand helfen zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen gleich sind? Bin über jeden Ansatz dankbar!
Also es gibt sogar eine lösung davon nur versteh ich die lösung nicht ganz , außerdem sollen wir dazu nicht die lösungen benutzen, also es selber erklären können :)
Vom Duplikat:
Titel: Stetige Funktionen von R nach R. Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) fur jedes r ∈ Q. Dann ist f = g.
Stichworte: funktion,stetig,rational,reell
kann jemand mir helfen ?
Seien f, g : R → R stetige Funktionen.
Zu zeigen, es gelte f(r) = g(r) für jedes r ∈ Q. Dann ist f = g.
Kannst du im Prinzip gleich machen wie hier: https://www.mathelounge.de/396571/sei-i-ein-intervall-f-g-i-r-stetig-beweise-f-x-g-x-fuer-alle-x-in-i
Sei x∈ℝ\ℚ. Bekanntlich existiert eine Folge {an}n>0 mit ak∈ℚ für alle k∈ℕ und limn→∞an = x. Da f und g stetig sind, gilt f(x) = f(limn→∞an) = limn→∞f(an) = limn→∞g(an) = g(limn→∞an) = g(x). Also ist f(x) = g(x) für alle x∈ℝ.
Für jedes x∈ℝ gibt es eine Folge (xn)n∈ℕ , mit xn ∈ℚ, die gegen x konvergiert,
weil die Menge Q dicht in ℝ ist.
Für alle Folgenglieder gilt aber f(xn) = g(xn) , wegen der Stetigkeit (Folgenkriterium)
gilt also auch f(x) = g(x).
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