Aloha :)
Du kannst den Konvergenzradius \(r\) der Reihe berechnen. Er hängt nur von den Koeffizienten \(a_n\coloneqq\frac1n\) ab.$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac1n\cdot\frac{n+1}1\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)=1$$Die Potenzreihe konvergiert daher sicher für \(|x|<r=1\).
Wir müssen noch die "Ränder" diese Konvergenz-Intervalls überprüfen.
$$x=1\implies\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\infty\quad\text{denn die harmonische Reihe divergiert.}$$$$x=-1\implies\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}=-\ln(2)$$
Die Reihe konvergiert daher für \(-1\le x<1\).
Wenn du die Potenzreihe für \(\ln(1+x)\) nicht auswendig kennst, kannst du die Konvergenz der Reihe für den Fall \(x=-1\) auch mit dem Leibnitz-Kriterium zeigen, da \(\left(\frac1n\right)\) eine monoton fallende Nullfolge ist.
