Elliptisches Paraboloid Integral

Question

Hallo Leute,

ich habe Probleme mit Berechnung des Volumens eines elliptischen Paraboloids. Die Aufgabe:

Für die Punkte der Schnittkurve der Flächen

A1: z = 4(x-1)^2+ (y+2)^2

A2: z = -8x + 4y + 24

gilt x^2 + (y/2)^2 = 4.

Problem/Ansatz:

Das Probelm bei mit ist, dass ich die Beziehung r^2 = x^2 + y^2, was für das Spezialfall (Rotationsparaboloid) gilt, nicht einsetzen kann. Dementsprechend kann ich schwer die richtigen Grenzen zur Berechung des Integrals feststellen. Die Kurzlösung ist \(64\pi\).

Herzlichen Dank!

Comments

Hallo

bist du sicher, das das die Schnittkurve sein soll?

Welches Volumen sollst du den bestimmen? das Paraboloid wird doch in 2 Teile geschnitten?

lul

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Hallo lul,

es geht darum, dass man das Volumen des geschlossenen Körpers K bestimmen soll, der durch die Flächen A1 und A2 begrenzt wird, also: x^2 + (y/2)^2 = 4.

Wenn die Gleichung in der From r^2 = x^2 + y^2 wäre, dann ist ziemlich einfach es zu parametrisieren, Grenzen auszurechnen und das entsprechene Integral zu bestimmen. Da aber leider y/2 steht, komme ich immer zur falschen Lösung.

MfG

Student_Hi

Answer 1

$$(- 8 \cdot x + 4·y + 24) - (4 \cdot (x - 1)^2 + (y + 2)^2) = 16 - 4 \cdot x^2 - y^2 = 0$$

$$y = \pm 2 \cdot \sqrt{4 - x^2}$$

$$V = \int \limits_{-2}^{2} \int \limits_{-2 \cdot \sqrt{4-x^2}}^{2 \cdot \sqrt{4-x^2}} \left( 16 - 4·x^2 - y^2 \right) dy dx = 64 \cdot \pi$$