Eigenwerte von A bestimmen.

Nächste »
0 Daumen
866 Aufrufe

Aufgabe:

Eigenwerte von

A= (4−3−1661−322−3166−1−34)\begin{pmatrix} 4 & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1 & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1 & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4 \end{pmatrix}

bestimmen.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich auf die Eigenwerte komme.

Es gibt ja die Formel

A*x = λ*x

das würde dann

(4−λ−3−1661−λ−322−31−λ66−1−34−λ)\begin{pmatrix} 4-λ & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1-λ & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1-λ & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4-λ \end{pmatrix}
bilden, aber woher bekomme ich die Eigenwerte?

Avatar von
📘 Siehe "Eigenwerte" im Wiki

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Eigenwertgleichung lautet ja:A⋅x⃗=λ⋅x⃗;x⃗≠0⃗\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\quad;\quad \vec x\ne\vec 0Wichtig ist, dass der Eigenvektor x⃗\vec x zum Eigenwert λ\lambda nicht der Nullvektor sein darf. Diese Gleichung kannst du umstellen:A⋅x⃗−λ⋅x⃗=0⃗  ⟹  A⋅x⃗−λ⋅1⋅x⃗=0⃗  ⟹  (A−λ⋅1)⋅x⃗=0⃗\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\vec x=\vec 0\implies\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\mathbf 1\cdot\vec x=\vec 0\implies\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)\cdot\vec x=\vec 0Das Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung x⃗≠0\vec x\ne0, wenn die Determinante der Klammer verschwindet:det⁡(A−λ⋅1)=0\operatorname{det}\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)=0Daher sind die Eigenwerte die Nullstellen dieser Determinante.

0=!∣4−λ−3−1661−λ−322−31−λ66−1−34−λ∣0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrrr}4-\lambda & -3 & -1 & 6\\6 & 1-\lambda & -3 & 2\\2 & -3 & 1-\lambda & 6\\6 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|

Wir brauchen zur einfachen Berechnung möglichst viele Nullen in einer Reihe. Daher addieren wir das Doppelte der dritten Spalte zur ersten Spalte. Anschließend ziehen wir aus der neuen ersten Spalte den Faktor (2−λ)(2-\lambda) vor die Determinante.0=∣2−λ−3−1601−λ−324−2λ−31−λ60−1−34−λ∣=(2−λ)∣1−3−1601−λ−322−31−λ60−1−34−λ∣0=\left|\begin{array}{rrrr}2-\lambda & -3 & -1 & 6\\0 & 1-\lambda & -3 & 2\\4-2\lambda & -3 & 1-\lambda & 6\\0 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1& -3 & -1 & 6\\0 & 1-\lambda & -3 & 2\\2 & -3 & 1-\lambda & 6\\0 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|

Wir subtrahieren das Doppelte der ersten Zeile von der dritten Zeile und entwickeln anschließend die Determinante nach der ersten Spalte:0=(2−λ)∣1−3−1601−λ−32033−λ−60−1−34−λ∣=(2−λ)∣1−λ−3233−λ−6−1−34−λ∣0=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1& -3 & -1 & 6\\0 & 1-\lambda & -3 & 2\\0 & 3 & 3-\lambda & -6\\0 & -1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1-\lambda & -3 & 2\\3 & 3-\lambda & -6\\-1 & -3 & 4-\lambda\end{array}\right|

Wir addieren die Spalten 1 und 2 zur Spalte 3 und ziehen anschließend den Faktor (−λ)(-\lambda) aus der dritten Spalte vor die Determinante0=(2−λ)∣1−λ−3−λ33−λ−λ−1−3−λ∣=−λ(2−λ)∣1−λ−3133−λ1−1−31∣0=(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1-\lambda & -3 & -\lambda\\3 & 3-\lambda & -\lambda\\-1 & -3 & -\lambda\end{array}\right|=-\lambda(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}1-\lambda & -3 & 1\\3 & 3-\lambda & 1\\-1 & -3 & 1\end{array}\right|

Wir subtrahieren Zeile 3 von Zeile 1 und Zeile 2. Anschließend haben wir eine Dreieck-Matrix, deren Determinante einfach das Produkt der Hauptdiagonalen ist:0=−λ(2−λ)∣2−λ0046−λ0−1−31∣=−λ(2−λ)2(6−λ)0=-\lambda(2-\lambda)\left|\begin{array}{rrrr}2-\lambda & 0 & 0\\4 & 6-\lambda & 0\\-1 & -3 & 1\end{array}\right|=-\lambda(2-\lambda)^2(6-\lambda)

Damit haben wir 3 Eigenwerte gefunden: λ1=0;λ2=2;λ3=6\quad\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=2\quad;\quad\lambda_3=6

Avatar von 153 k 🚀
0 Daumen

Hallo

du musst die Determinante bilden und 0 setzen.Das ist einige Rechnerei.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

hi ich hatte schon berechnet, dass det(A)=0 ist

was mache ich da jetzt?

ich hatte die Matrix dann so umgestellt

(4−3−16011/3−1−14/3008/38/30000)\begin{pmatrix} 4 & -3 & -1 & 6 \\ 0 & 11/3 & -1 & -14/3 \\ 0 & 0 & 8/3 & 8/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

von
0 Daumen

eine app zur aufgabe findest du bei

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

det(A-λE)=0

ist zu berechnen. am besten formst du eine dreiecksmarix zur berechnung der determinante ===>  charakteristisches polynom.

λ  (λ−2)2  (λ−6)=0\lambda \; \left(\lambda - 2 \right)^{2} \; \left(\lambda - 6 \right) = 0

Avatar von 21 k

(4−3−16011/3−1−14/3008/38/30000)\begin{pmatrix} 4 & -3 & -1 & 6 \\ 0 & 11/3 & -1 & -14/3 \\ 0 & 0 & 8/3 & 8/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

diese hatte ich schon gebildet, ist das die gemeinte Dreiecksmatrix?

Was ist mit E gemeint?

von

Die Einheitsmatrix und in deiner Rechnung fehlt λ, der Eigenwert der zu bestimmen ist. Hast DU oben schon aufgeschrieben...

∣4−λ−3−1661−λ−322−31−λ66−1−34−λ∣=0\small \left |\begin{matrix} 4-λ & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1-λ & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1-λ & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4-λ \end{matrix} \right|=0

von

also soll ich die Dreiecksform bei

∣4−λ−3−1661−λ−322−31−λ66−1−34−λ∣=0\small \left |\begin{matrix} 4-λ & -3 & -1 & 6 \\ 6 & 1-λ & -3 & 2 \\ 2 & -3 & 1-λ & 6 \\ 6 & -1 & -3 & 4-λ \end{matrix} \right|=0

formen?

von

jep, wird aber nicht besonders schön bei vollbesetzten Matrizen:

Ich hätte erstmal die erste Spalte bearbeitet

(−λ+4−3−160−λ+20λ−20−3+6−λ+4−λ+1+2−λ+46−12−λ+408−3  (−λ+1)−3−λ−14)\small \left(\begin{array}{rrrr}-\lambda+ 4&-3&-1&6\\0&-\lambda+ 2&0&\lambda- 2\\0&-3 + \frac{6}{-\lambda+ 4}&-\lambda+ 1 + \frac{2}{-\lambda+ 4}&6 - \frac{12}{-\lambda+ 4}\\0&8&-3 \; \left(-\lambda+ 1 \right) - 3&-\lambda- 14\\\end{array}\right)

weiter, wenn man das durchziehen will,

(−λ+4−3−16003⋅(λ−2)28−(λ−2)  λ+68000−λ  ℓ−63  (λ−4)083  (λ−2)−λ−14)\small \left(\begin{array}{rrrr}-\lambda+ 4&-3&-1&6\\0&0&3 \cdot \frac{\left(\lambda- 2 \right)^{2}}{8}&-\left(\lambda- 2 \right) \; \frac{\lambda+ 6}{8}\\0&0&0&-\lambda\; \frac{\ell - 6}{3 \; \left(\lambda- 4 \right)}\\0&8&3 \; \left(\lambda- 2 \right)&-\lambda- 14\\\end{array}\right)

möcht ich aber nicht händisch rechnen?

von

ich in gerade fast fertig damit das charakteristische Polynom zu finden, bin aber dann nicht sicher wie ich damit auf die Eigenwerte komme


oh ok da ist eine neue Antwort ich gucke die erstmal an

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen