Funktion 3. Grades anhand Abbildung aufstellen

Question

Aufgabe und Ansatz :

Problem :

Da es eine Funktion 3.Grades ist bin ich davon ausgegangen, dass es ax³+bx²+cx+d lauten müsse in der Lösung steht als Ansatz aber ax³+bx²+c ...warum ist das so? Außerdem wie löst man das Gleichungssystem mit dem Einzetzungsverfahren?

Answer 1

Hallo,

Die Funktion ist allen Anschein nach kubisch (d.h. 3.Ordnung) und hat eine doppelte Nullstelle bei $x=0$ und eine bei $x=3$. Folglich lautet der Ansatz$$f(x) = ax^2(x-3)$$bei $A(2|\,1)$ ist ein Punkt der Funktion. Daraus folgt$$f(2) = a\cdot 2^2(2-3) = 1 \implies a = -\frac 14$$Die Lösung ist also

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f₁(x) = (-1/4)·x²(x-3)P(2|1)

$$f(x) = -\frac 14x^2(x-3) = -\frac14 x^3 + \frac34x^2$$

Da es eine Funktion 3.Grades ist bin ich davon ausgegangen, dass es ax³+bx²+cx+d lauten müsse ..

das ist sehr allgemein. Und hier gar nicht nötig (s.o.)

... in der Lösung steht als Ansatz aber ax³+bx²+c ...warum ist das so?

wahrscheinlich macht man sich gleich zu nutze, dass die Steigung bei $x=0$ auch 0 ist. Also$$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)=3ax^2+2bx + c \quad f'(0)=0 \implies c =0$$wobei man dann auch gleich $d=0$ setzen kann ;-)

Außerdem wie löst man das Gleichungssystem mit dem Einzetzungsverfahren?

Die brauchst vier Bedingungen für die vier Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$. Offensichtlich ist$$f(2)=1, \quad f'(2)=0, \quad f(0)=0$$ob man als vierte Bedingung $f'(0)=0$ oder $f(3)=0$ benutzt, führt hier glücklicherweise zum gleichen Ergebnis. Ich nutze mal erstere. Aus $$f(0) = a\cdot 0 + b \cdot 0 + c\cdot 0 + d = 0$$folgt $d=0$, Und wegen $f'(0)=0$ ist auch $c=0$ (s.o.). Dann bleibt$$\begin{aligned} f(2) = a\cdot 2^3 + b \cdot 2^2 &= 1\\ f'(2) = 3a\cdot 2^2 + 2b\cdot 2&= 0\end{aligned}$$Wählst Du das Einsetzverfahren, so isoliere aus der ersten Gleichung das $b$$$8a+4b=1 \implies b=\frac14(1-8a)$$und das setzt Du in die zweite Gleichung ein$$\begin{aligned} 12a +4b &= 0 \\ 12a+4\left(\frac14(1-8a)\right) &= 0 &&\left|\,4\cdot\frac14 = 1\right. \\12a + 1-8a &= 0 &&|\, -1\\ 4a &= -1 &&|\,\div 4 \\ a &= -\frac14\\ \end{aligned}$$und das so gewonnene $a$ wieder in die Gleichung für $b$ einsetzen$$b=\frac14\left(1-8\cdot \left(-\frac14\right) \right) = \frac14(1+2) = \frac34$$ Gruß Werner

Comments

Antwort um das 'Einsetzungsverfahren' erweitert.

Answer 2

Nutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Eigenschaften

f(0) = 0
f'(0) = 0
f(2) = 1
f'(2) = 0

Gleichungssystem

d = 0
c = 0
8a + 4b + 2c + d = 1
12a + 4b + c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -0,25·x³ + 0,75·x² = 1/4·x²·(3 - x)

Answer 3

Mit f(0)=0 und f'(0)=0 findest du schnell, dass sogar  der Ansatz f(x)=ax³+bx² ausreicht, da c und d beide Null sind.

:-)