Berechne das Volumen von M = { \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ∈ℝ3 | |z| ≤ 3 und x2 + y2 + z2 ≤1}

Question

Aufgabe:

Berechne das Volumen von M = {$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$ ∈ℝ^3 | |z| ≤ 3 und x^2 + y^2 - z^2 ≤1}

Hinweis: Polarkoordinaten in der xy-Ebene sind Hilfreich

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist ob meine Lösung richtig ist

$\int\limits_{-3}^{3}$ $\int\limits_{0}^{π}$ $\int\limits_{0}^{1 + z^2}$ r dr dθ dz = ....

Also sind die Grenzen richtig bzw. den Integral? oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

Danke

Comments

Die Grenzen sind falsch. Überlege noch einmal welche Werte $\theta$ annehmen kann. Außerdem ist $x^2 + y^2 = r^2$, das solltest du auch noch berücksichtigen.

dV = dx dy dz = r dr dθ dz ist korrekt.

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Stimmt, die Wurzel habe ich vergessen, Danke

Answer 1

Aloha :)

Wegen $|z|\le3$ ist klar, dass $z\in[-3;3]$.

Wenn du nun ein $z$ beliebig gewählt hast, bleibt als Bedingung $x^2+y^2\le1+z^2$. Diese lautet in Polarkoordinaten $r^2\le1+z^2$. Du kannst also noch $r\in[0;\sqrt{1+z^2}]$ wählen.

Der Polarwinkel $\varphi$ muss einen vollständigen Kreis abdecken, also $\varphi\in[0;2\pi]$.

Das gesuchte Volumen ist daher:

$$V=\int\limits_{z=-3}^3\;\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{\sqrt{1+z^2}}r\,dr\,d\varphi\,dz=\cdots=24\pi$$

Wenn du bei der Rechnung Hilfe brauchst, bitte einfach nochmal melden.

Comments

Oh die Wurzel habe ich vergessen ... Danke sehr