0 Daumen
648 Aufrufe

Die Menge \( B \subset \mathbb{R}^{2} \) bezeichne das Gebiet begrenzt durch die Gerade \( x=y \) sowie durch die Kurve \( x^{2}-y+1=0 \) und geschnitten mit dem Rechteck \( \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1,-4 \leq y \leq 4\right\} \)
Berechnen Sie \( \iint x y d x d y= \)


Kann mir da jemand helfen?

Avatar von

Zeichnen:

blob.png

Also \( 0\le x \le 1 \) und \( x \le y \le x^2 + 1 \)

Damit kannst du das Integral gemäß Fubini-Tonelli direkt in ein Doppelintegral umschreiben.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Das Integrationsgebiet auf dem wir Rumlaufen wird beschränkt durch vier Rahmenbedingungen:$$y=x\quad;\quad y=x^2+1\quad;\quad x\in[0;1]\quad;\quad y\in[-4;4]$$Da \(x\in[0;1]\) gilt, ist die Gerade \(y=x\) eine untere und \(y=x^2+1\) eine obere Grenze für \(y\):$$x\le y\le x^2+1$$Wegen \(x\in[0;1]\) gilt dann insbesondere \(y\in[0;2]\), sodass die Forderung \(y\in[-4;4]\) ebenfalls erfüllt ist. Unsere Integrationsgrenzen lauten daher:$$0\le x\le 1\quad;\quad x\le y\le x^2+1$$

Da die Integrationsgrenzen für \(dy\) von \(x\) abhängen, müssen wir zuerst über \(dy\) integrieren, dann die Grenzen einsetzen und danach über \(dx\) integrieren. Formal sieht das so aus:

$$I=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=x}^{x^2+1}xy\,dx\,dy=\int\limits_{0}^1x\cdot\left(\int\limits_{x}^{x^2+1}y\,dy\right)dx=\int\limits_0^1x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x}^{x^2+1}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1\frac x2\left((x^2+1)^2-x^2\right)dx=\int\limits_0^1\frac x2\left(x^4+x^2+1\right)dx=\int\limits_0^1\frac 12\left(x^5+x^3+x\right)dx$$$$\phantom{I}=\frac12\left[\frac{x^6}{6}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(\frac16+\frac14+\frac12\right)=\frac{1}{2}\left(\frac2{12}+\frac3{12}+\frac6{12}\right)=\frac{11}{24}$$

Avatar von 148 k 🚀

Wie bist du jetzt genau auf y=x und y= x2+1?

Durch umstellen der Funktion : x2-y+1 ?

Also, wenn ja, dann verstehe ich die y=x2+1 aber nicht die y=x

Ja genau, durch Umstellen.$$x^2-y+1=0\implies y=x^2+1$$$$x=y\implies y=x$$Zwischen diesen beiden Funktionen liegt für \(x\in[0;1]\) das Gebiet mit$$x\le y\le x^2+1$$

und woher kommt aber das x, wenn man vorher x^2+1 hatte ...

Das Gebiet wird begrenzt durch die Gerade \(\boxed{x=y}\) sowie durch die Kurve \(\boxed{x^2-y+1=0}\). Zwischen diesen beiden Funktionen bewegt sich \(y\):$$x\le y\le x^2+1$$

Ahhh ok, jetzt verstehe ich das. Vielen Dank!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community