negative Fibonacci-Folge / Beweis mit vollständiger Induktion

Question

Aufgabe:

ich bin auf die Formel

$f_{-n}=(-1)^{n+1} f_{n}$ für alle $n>0$

für die Fibonacci-Folge gestoßen. Ich würde diese gerne mit der vollständigen Induktion beweisen, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das machen soll.

Ich würde mich über eure Hilfe freuen! :)

Answer 1

Hallo,

die Fibonacci-Folge ist ja bekannt:$$f_0=0, \quad f_1=1,\quad f_{i+1} = f_i + f_{i-1}\\ \implies f_{1,2,3,4,\dots}=1,\,1,\,2,\,3,\,\dots$$und wenn man konsequent zu kleineren Indizes übergeht, so folgt daraus$$f_{i-1} = f_{i+1} - f_i \\ \implies f_{-1,-2,-3,-4,\dots} = 1,\,-1,\,2,\,-3,\dots$$Die Behauptung ist nun, dass für diese Folge auch gilt:$$f_{-n}= (-1)^{n+1}f_n$$aus dem obigen folgt bereits, dass dies für $n\le4$ korrekt ist (Induktionsanfang). Dann betrachte man den Übergang von $n$ nach $n+1$ (Induktionsschritt)$$\begin{aligned} f_{-(n+1)} &= f_{-(n-1)} - f_{-n} &&|\, 1)\\ &= (-1)^{n}f_{n-1} - (-1)^{n+1}f_n &&|\, 2)\\ &= (-1)^{n+1}(-f_{n-1} - f_n)\\ &= -(-1)^{n+1}(f_{n-1} + f_n)\\ &= (-1)^{n+2}f_{n+1}\\&\text{q.e.d.} \end{aligned}$$1) aus der Rekursionsvorschrift. 2) wegen der Induktionsannahme

Gruß Werner

Answer 2

Die Formel f_-n=(-1)ⁿ⁺¹f_n definiert eine Folge. Definitionen kann man nicht beweisen.