Hallo,
die Fibonacci-Folge ist ja bekannt:$$f_0=0, \quad f_1=1,\quad f_{i+1} = f_i + f_{i-1}\\ \implies f_{1,2,3,4,\dots}=1,\,1,\,2,\,3,\,\dots $$und wenn man konsequent zu kleineren Indizes übergeht, so folgt daraus$$f_{i-1} = f_{i+1} - f_i \\ \implies f_{-1,-2,-3,-4,\dots} = 1,\,-1,\,2,\,-3,\dots$$Die Behauptung ist nun, dass für diese Folge auch gilt:$$f_{-n}= (-1)^{n+1}f_n$$aus dem obigen folgt bereits, dass dies für \(n\le4\) korrekt ist (Induktionsanfang). Dann betrachte man den Übergang von \(n\) nach \(n+1\) (Induktionsschritt)$$\begin{aligned} f_{-(n+1)} &= f_{-(n-1)} - f_{-n} &&|\, 1)\\ &= (-1)^{n}f_{n-1} - (-1)^{n+1}f_n &&|\, 2)\\ &= (-1)^{n+1}(-f_{n-1} - f_n)\\ &= -(-1)^{n+1}(f_{n-1} + f_n)\\ &= (-1)^{n+2}f_{n+1}\\&\text{q.e.d.} \end{aligned}$$1) aus der Rekursionsvorschrift. 2) wegen der Induktionsannahme
Gruß Werner
