Bestimmen Sie x so, dass vec{a} und vec{b} im hermitischen Vektorraum orthogonal zueinander sind.

Question

Aufgabe:

Seien \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) Vektoren aus dem dreidimensionalen, komplexen Vektorraum \( \mathbb{C}^{3} \).
\( \vec{a} \)=\( \begin{pmatrix} i\\1\\1+i \end{pmatrix} \) , \( \vec{b} \)=\( \begin{pmatrix} i\\x\\1 \end{pmatrix} \)   

a) Bestimmen Sie \( x \in \mathbb{C} \) so, dass \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) im hermitischen Vektorraum orthogonal zueinander sind.

Problem/Ansatz:

Für Orthogonalität muss das Skalarprodukt=0 gelten. Aber ich weiß nicht wie man hier richtig voran geht.

Würde mir jemand bitte helfen?

Comments

Beim komplexen Skalarprodukt werden die Komponenten eines Faktor konjugiert komplex genommen. Je nach Fach / Vorlesung kann dies der 1. oder 2. Faktor sein. Ohne dies durch den Fragesteller zu klären, kann man das Ergebnis nicht zuverlässig berechnen.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Hallo

Was das Skalarprodukt ist solltest du wissen, die summe der Produkte der Komponenten. Das =0 setzen und daraus x bestimmen. das einzige, was man wissen muss i*i=-1, 1*i=i

(Zur Kontrolle : x=-i)

Gruß lul

Comments

Achsoo stimmt ja, Dankeschön:))

Answer 2

"Aber ich weiß nicht wie man hier richtig voran geht." - Doch, das weißt du. Du hast den richtigen Weg schon genannt:

"Für Orthogonalität muss das Skalarprodukt = 0 gelten".

Berechne also das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren und setze es gleich null:

\(\begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 1+i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i \\ x \\ 1 \end{pmatrix} = ... \stackrel{!}{=} 0\)

Nun kannst du das \(x\) bestimmen.