Question

Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen.

a. $\sum \limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{5}\right)^{i}$

b. $\sum \limits_{i=0}^{\infty} \frac{2^{i}+5^{i}}{10^{i}}$

Answer 1

Das erste ist eine geometrische Reihe mit $$q = -\frac{1}{5}$$. Es ist $$|q| = \frac{1}{5} < 1$$, daher konvergiert die Reihe gegen $$\frac{1}{1-q} = \frac{1}{1-(-\frac{1}{5})} = \frac{5}{6}$$.

Zu b.) $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{2^i + 5^i}{10^i} = \sum_{i=0}^{\infty} (\frac{1}{5})^i + (\frac{1}{2})^i = \frac{1}{1-\frac{1}{5}} + \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{13}{4}$$