Feinstaubkonzentration wachstum berechnen

Question

Text erkannt:

Aufgabe $4:$
Seit einigen Jahren wird verstärkt über die Feinstaubbelastung in Stádten diskutiert. An einer Messstation in einer Stadt wurde über einen längeren Zeitraum die Feinstaubkonzentration $^{1}$ aufgezeichnet.
Zur Modellierung der gemessenen Feinstaubkonzentration im Verlauf eines Tages zwischen 0:00Uhr und 12:00Uhr wird für $0 \leq t \leq 12$ die Funktion $f$ mit
$$f(t)=-0,008 \cdot t^{4}+0,144 \cdot t^{3}-0,47 \cdot t^{2}-0,6 \cdot t+17,6, t \in \mathbb{R} \text { , }$$
verwendet.
Dabei gibt $t$ die Uhrzeit an ( $t=0$ entspricht 0:00Uhr, $t=10,5$ entspricht 10:30Uhr usw.).
$f(t)$ ist die Feinstaubkonzentration in $\frac{\mu g}{m^{3}}$ zu der durch $\operatorname{tg}$ gegebenen Uhrzeit.
Der Graph von $f$ ist in der Abbildung 1 dar

Text erkannt:

c) Der Stadtrat fordert, dass ein Wert von $20 \frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{m}^{3}}$ nicht überschritten werden soll.
(1) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die in b) ermittelte maximale Feinstaubkonzentration den Wert von $20 \frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{m}^{3}}$ überschreitet.
(2) Bestimmen Sie rechnerisch, wie lange der Wert von $20 \frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{m}^{3}}$ im Zeitraum von 0:00 Uhr
bis 12:00 Uhr überschritten wird.

Kann mir jemand helfen wie ich diese Aufgaben löse weil komme hier nicht mehr weiter

Comments

Wie hoch ist denn der in b ermittelte Wert?

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In b der ermittelte Wert ist 28,94

Answer 1

für deine zweite Aufgabe kannst du die Funktion gleich $20 \frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{m}^{3}}$ setzen:

$-0.008 t^4 + 0.0144 t^3 - 0.47 t^2 - 0.6 t + 17.6 = 20$.

Umgeformt erhalten wir eine biquadratische Gleichung, die zu lösen gilt:

$-0.008 t^4 + 0.0144 t^3 - 0.47 t^2 - 0.6 t - 2.4 = 0$.

Du erhältst dann zwei reelle Werte für $t$:

$t \approx 6.81357$

und

$t \approx 12.8174$.

(Ich habe die Lösungen mit Hilfe einer mathematischen Software schnell berechnet).

Betrachten wir nun unseren Graphen, sehen wir, dass wir

$t \approx 6.81357$

für diese Aufgabe benötigen. Jetzt gilt es noch, die Zeit zubestimmen, wobei das gar nicht mehr so schwer ist, weil der Wert der Funktion ab $t \approx 6.81357$ nicht mehr unter $20 \frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{m}^{3}}$ fällt.

Lg

Comments

Danke dir und kann man die Werte auch in den Taschenrechner eingeben damit man z.B diese 6,81 rauskriegt oder was muss man dafür eingeben

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Das kannst du auf jeden Fall machen. Ist nur sehr aufwendig. Du setzt dafür für $t$, wenn wir den Graph anschauen, zum Beispiel mal den Wert $6.5$ ein. Dann siehst du, dass du unter $20$ sein wirst. Also gehst du einfach mal höher und setzt $7$ ein. Du wirst dann über $20$ sein. Also wirst du wieder kleiner und gibst $6.8$ ein. Du näherst dich dann solange dem gesuchten Wert, hier $20$, an und schreibst dann dein bestmögliches $t$ auf.

Sollte das als "rechnerisch" genügen, ist das auf jeden Fall ein guter Weg, wie man es machen kann.

Sollte mit "rechnerisch" gemeint sein, dass man so eine Gleichung, wie in meinem vorherigen Beitrag, aufstellt und dort dann das $t$ bestimmen soll, würde ich dich auf Wikipedia weiterleiten: https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung, weil es doch ein sehr aufwendiges Verfahren ist.

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Könntest du mir eine ganze Funktion hier hin schreiben  weil habe noch nicht ganz verstanden was du meinst mit 6,5 einsetzen weil bei mir kommt nichts mit unter 20 rein habe bestimmt was falsch gemacht deswegen

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Die zugehörige Funktion zum Graphen ist

$f(t)=-0.008 \cdot t^{4}+0.144 \cdot t^{3}-0.47 \cdot t^{2}-0.6 \cdot t+17.6$.

Wenn wir nun für $t$ den Wert $t = 6.5$ einsetzen, erhalten wir

$f(6.5) = 19.108$.

Der Wert liegt also noch unter der $20$, also müssen wir höher gehen.

$f(7) = 20.554$.

Dieser Wert ist nun größer als $20$, also müssen wir wieder ein kleineres $t$ einsetzen. Das machen wir immer so weiter:

$f(6.8) = 19.9603$

$f(6.9) = 20.2549$

$f(6.85) = 20.107$

$f(6.82) = 20.0188$

$f(6.81) = 19.9896$

$f(6.813) = 19.998$

Wir nähern uns also immer mehr der $20$ an. So kannst du nun immer weiter machen, bis du den Wert $20$ herausbekommen hast.

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Ah jetzt habe ich es verstanden, vielen dank

Und sind dann diese 6,813 die stunden wann es überschritten wird oder rechnet man das anders?

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Nicht ganz. Der Graph $f(t)$ stellt die Feinstaubkonzetration zur Zeit $t$ dar. Wenn du dir den Graph genau anschaust, siehst du, dass wir ab der Zeit $t \approx 6.8135$ nur noch über $20 \frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{m}^{3}}$ sind.

Wenn wir nun $12 - 6.8135$ rechnen, erhalten wir die Stunden, also den Zeitraum von 00:00 Uhr bis 12:00 Uhr, in dem der Wert von $20 \frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{m}^{3}}$ überschritten ist.

Also 5.1865 Stunden.

Answer 2

c1) (28,94-20)/20*100=44,7%

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Weißt du auch wie die andere Aufgabe gelöst wird?