Question

Berechnen Sie das uneigentliche Integral
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(4+x^{2}\right)} d x \)
mit Hilfe des Residuensatzes.

Answer 1

Aloha :)

Der Integrand hat Polstellen bei \(i\), \((-i)\), \(2i\) und \((-2i)\). Da wir nur über die Polstellen mit positivem Imaginärteil zu summieren brauchen, gilt:

$$\phantom{=}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}dx=2\pi i\left(\operatorname{Res}_i(z)+\operatorname{Res}_{2i}(z)\right)$$$$=2\pi i\left(\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{(z+i)(z-i)(z+2i)(z-2i)}+\lim\limits_{z\to 2i}\frac{z-2i}{(z+i)(z-i)(z+2i)(z-2i)}\right)$$$$=2\pi i\left(\lim\limits_{z\to i}\frac{1}{(z+i)(z+2i)(z-2i)}+\lim\limits_{z\to 2i}\frac{1}{(z+i)(z-i)(z+2i)}\right)$$$$=2\pi i\left(\frac{1}{2i\cdot3i\cdot(-i)}+\frac{1}{3i\cdot i\cdot4i}\right)=2\pi i\left(\frac{1}{6i}-\frac{1}{12i}\right)=2\pi i\cdot\frac{1}{12i}=\frac\pi6$$

Answer 2

rechne von -a bis a und dann den Grenzwert a->o

lul