Aloha :)
Wenn du die Ebenengleichung etwas umformst:$$3x+4y-3z=1\quad\implies\quad 3z=-1+3x+4y\quad\implies\quad z=-\frac13+x+\frac43y$$Kannst du alle Punkte der Ebene in Parameterform angeben:
$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-\frac13+x+\frac43y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac13\end{pmatrix}+x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\frac43\end{pmatrix}$$
Wenn nun die Gerade \(r\cdot(3;a;-1)\) parallel zur Ebene verlaufen soll, muss ihr Richtungsvektor von den beiden Richtungsvektoren der Ebene linear abhängen:
$$\begin{pmatrix}3\\a\\-1\end{pmatrix}\stackrel!=x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\frac43\end{pmatrix}$$
Wegen der Gleichung für die erste Koordinate, muss \(x=3\) sein. Dann folgt aus der Gleichung für die letzte Koordinate:$$-1=3\cdot1+y\cdot\frac43\quad\implies\quad\frac43y=-4\quad\implies\quad y=-3$$
Aus der Gleichung für die zweite Koordinate folgt nun:$$a=x\cdot0+y\cdot1=3\cdot0+(-3)\cdot1=-3$$
