Bestimmen die Grade g:x= r(3 , a, -1) parallel zu E verlaufen

Question

Aufgabe:

… Bestimmen die Grade g:x= r(3 , a, -1) parallel zu E verlaufen

      E: 3x+4y-3z=1

Problem/Ansatz:

… Wie sollte man a finden?

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Ebenengleichung etwas umformst:$$3x+4y-3z=1\quad\implies\quad 3z=-1+3x+4y\quad\implies\quad z=-\frac13+x+\frac43y$$Kannst du alle Punkte der Ebene in Parameterform angeben:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-\frac13+x+\frac43y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac13\end{pmatrix}+x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\frac43\end{pmatrix}$$

Wenn nun die Gerade $r\cdot(3;a;-1)$ parallel zur Ebene verlaufen soll, muss ihr Richtungsvektor von den beiden Richtungsvektoren der Ebene linear abhängen:

$$\begin{pmatrix}3\\a\\-1\end{pmatrix}\stackrel!=x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\frac43\end{pmatrix}$$

Wegen der Gleichung für die erste Koordinate, muss $x=3$ sein. Dann folgt aus der Gleichung für die letzte Koordinate:$$-1=3\cdot1+y\cdot\frac43\quad\implies\quad\frac43y=-4\quad\implies\quad y=-3$$

Aus der Gleichung für die zweite Koordinate folgt nun:$$a=x\cdot0+y\cdot1=3\cdot0+(-3)\cdot1=-3$$

Comments

(3, 4, -3)*(3, a, -1)=0 

=> 9+4a+3=0 => 4a=-12 =>a=-3

ist meine Lösung so falsch, weil ich gleiche Ergebnis habe?

Danke für deine Antwort

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Deine Lösung ist genauso richtig.

Du verwendest den Ansatz, dass der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtugnsvektor der Geraden stehen muss. Das ist sogar eleganter als mein Lösungsweg...