What is the smallest possible value of ∫ (x-a)^2 dx as a varies?

Question

Aufgabe:

What is the smallest possible value of ∫(0;1)  (x-a)² dx as a varies?

Problem/Ansatz:

In der Lösung steht \( \frac{1}{12} \), jedoch kein Lösungsweg. Wenn man die Stammfunktion berechnet und 1 und 0 einsetzt ist es laut meiner Rechnung:

\( \frac{1}{3} \) (1-a)³ + \( \frac{1}{3} \)a³

Diese Funktion ist dritten Grades und müsste demnach doch dann von +∞ bis -∞ gehen.

Answer 1

Aloha :)

Gesucht ist das Minimum der Funktion$$f(a)=\int\limits_0^1(x-a)^2dx=\left[\frac13(x-a)^3\right]_0^1=\frac13(1-a)^3-\frac13(-a)^3$$$$\phantom{f(a)}=\frac13(1-3a+3a^3-a^3)+\frac{a^3}{3}=\frac13-a+a^2=\left(a^2-a+\frac14\right)+\frac13-\frac14$$$$\phantom{f(a)}=\left(a-\frac12\right)^2+\frac{4}{12}-\frac3{12}=\left(a-\frac12\right)^2+\frac1{12}$$Da eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist, erreicht die Funktion für \(a=\frac12\) ihr Minimum beim Funktionswert \(\frac{1}{12}\).