Aloha :)
1) Zur Bestimmung der Nullstellen kannst du den Funktionsterm wie folgt faktorisieren:$$f(x)=-x^4+2x^2+3=-(x^4-2x^2-3)=-(x^2-3)(x^2+1)$$Der zweite Faktor \((x^2+1)\) ist stets \(\ge1\). Daher kann nur der erste Faktor \((x^2-3)\) null werden. Das ist für \(x=\pm\sqrt3\) der Fall.
2) Zur Bestimmung der Kandidaten für Extremwerte kannst du den faktorisierten Funktionsterm mit Hilfe der Produktregel ableiten:$$f'(x)=-2x\cdot(x^2+1)-(x^2-3)\cdot 2x=-2x(x^2+1+x^2-3)=-2x(2x^2-2)$$$$f'(x)=-4x(x^2-1)$$Die Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen, also \(x=0\) und \(x=\pm1\).
3) Zur Bestimmung der Art der Extrema brauchen wir die zweite Ableitung$$f''(x)=\left(-4x(x^2-1)\right)'=\left(-4x^3+4x\right)'=-12x^2+4=-4(3x^2-1)$$Damit haben wir tatsächlich 3 Extrema vorliegen:$$f''(\pm1)=-8<0\implies\text{Maxima}\quad;\quad f''(0)=4>0\implies\text{Minimum}$$
4) Kandidaten für Wendepunkte finden wir an den Stellen, wo die zweite Ableitung Null wird:$$0\stackrel!=f''(x)=-4(3x^2-1)\implies 3x^2=1\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt3}$$Zur Prüfung, ob es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt, muss die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null sein:$$f'''(x)=-24x\implies f'''\left(\pm\frac{1}{\sqrt3}\right)\ne0\implies\text{Wendepunkte}$$Die Funktion hat also tatsächlich zwei Wendepunkte.
~plot~ -x^4+2x^2+3 ; [[-2|2|-5|5]] ; {sqrt(3)|0} ; {-sqrt(3)|0} ; {0|3} ; {1|4} ; {-1|4} ; {1/sqrt(3)|32/9} ; {-1/sqrt(3)|32/9} ~plot~
