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Aufgabe:

Wie muss b gesetzt sein das die folgende Matrix invertierbar ist?

$$ \begin{pmatrix} b & 2 & b & 3b \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & b & 12 \\ 2 & b & 2 & b \end{pmatrix} $$


Problem/Ansatz:

Wie fangt man bei solchen Aufgabentypen an?

Ich kann es mit Determinante versuchen, wenn ich die Leibnizformel nehme und nach b umforme ?

oder muss man es in Dreiecksform bringe und schaue das keine Nullzeile existiert? Oder welche Möglichkeiten gibt es noch?


VG coffee.cup

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Man rechnet Determinanten doch nicht mit der Leibniz Formel aus. Die ist nur für theoretische Überlegungen zu gebrauchen.

Forme die Matrix mit elementaren Zeilen-/Spaltenumformungen um oder nimm Laplace und Sarrus her.

Z.B erste Zeile minus b-mal zweite Zeile, da fällt fast alles weg außer die 2. Dann Laplace auf die erste Zeile. bleibt eine 3x3 Determinante über -> Sarrus oder weiter umformen.

Mit etwas Übung sieht man dann direkt, dass es nur zwei Lösunge geben kann und diese kann man auch noch an der 3x3 Matrix ablesen.

2 Antworten

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Aloha :)

\(b\) muss so gewählt werden, dass die Determinante der Matrix \(\ne0\) ist:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}b & 2 & b & 3b\\1 & 0 & 1 & 3\\4 & 0 & b & 12\\2 & b & 2 & b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}b-b & 2 & b & 3b\\1-1 & 0 & 1 & 3\\4-b & 0 & b & 12\\2-2 & b & 2 & b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}0 & 2 & b & 3b\\0 & 0 & 1 & 3\\4-b & 0 & b & 12\\0 & b & 2 & b\end{array}\right|$$$$=(4-b)\left|\begin{array}{rrrr}2 & b & 3b\\0 & 1 & 3\\b & 2 & b\end{array}\right|=(4-b)\cdot\left(2(b-6)+b(3b-3b)\right)=2(4-b)(b-6)$$Die Matrix ist also invertierbar, falls \(b\ne4\) und \(b\ne6\) gilt

Avatar von 148 k 🚀

Wie heißt denn der Schritt/Regel den du gemacht hast um eine 3x3 Matrix herauszubekommen wie du das gemacht hast?

Ich habe die 4x4-Determinante nach der ersten Spalte entwickelt, danach bleibt eine 3x3-Determinante übrig, die ich ebenfalls nach der ersten Spalte entwickelt habe.

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Rechne die Determinante der Matrix in Abhängigkeit von d und finde alle d-Werte , mit denen die Determinante ungleich 0 ist bzw. finde alle Nullstellen von der Determinante , dann weißt du, dass mit diesen d-Werten die Matrix nicht invertierbar ist.

  Z.B. für d=0 beträgt die Determinante der Matrix -48, also ist sie für d=0 invertierbar

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