Berechnen Sie den Punkt J auf der Dachfläche BDE, auf den die Fahnenmastspitze abgebildet wird.[Zur Kontrolle: Auf …

Question

IAufgabe:

Problem/Ansatz:

Die Dachfläche kannst Du doch einfach geometrisch berechnen. Das sind zwei Trapeze und zwei gleichschenklige Dreiecke.
Die Trapeze haben parallele Seiten von 8 und 6 Einheiten Länge,dazu eine über den Satz des Pythagoras ermittelte Höhe von 5 Einheiten (Wurzel (4²+3²)).
Die Dreiecke haben eine Grundseite von 6 Einheiten und eine Höhe von Wurzel (1²+3²)=Wurzel (10).
Abstand Fahnenspitze zu J bekommst D, wenn Du die Differenzen der jeweiligen Koordinaten quadrierst, diese Quadrate addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst.

Das war die Diskussion mit meinem Lehrer aber ich verstehe nicht wie ich das lösen soll und hier ist die Aufgabe

h)Zu einer bestimmten Tageszeit fällt ein Lichtstrahl auf den Fahnenmast in Richtung des Vektors ein. Berechnen Sie den Punkt J auf der Dachfläche BDE, auf den die Fahnenmastspitze abgebildet wird.[Zur Kontrolle: Auf zwei Nachkommastellen gerundet erhalten Sie J(-1,94|3,8|0,61).]

i)Berechnen Sie den Abstand des Punktes J vom Fahnenmast.

j)Berechnen Sie den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche.

Hierzu ist der Text

Aufgabe:Ein Haus erhält ein Walmdach der Form im Material 1. Die Punkte C, D, E und F
sind Eckpunkte des rechteckigen Dachbodens. Das Dach ist symmetrisch zur
x1-x3-Ebene. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Gegeben sind die Punkte
A(0|-3|3), C(-3|-4|0), D(-3|4|0) und F(3|-4|0).

Und das sind die Koordinaten :

J(-1,94|3,8|0,61)

Mein Problem ist es dass ich schon die ganze Zeit an dieser Aufgabe sitze und ich habe meinen Lehrer gefragt und das war seine Antwort ich kriege die Aufgaben einfach nicht gelöst die gesuchten Koordinaten habe ich dazu gefunden die habe ich auch eingegeben ich habe aber kein Plan von dem was er gerade schreibt kann mir bitte jemand helfen ich kriege die Aufgaben nicht gelöst

Hier ist noch das Bild dazu und ja ich weiß es wurde schon oft diese Aufgabe hier reingestellt aber ich komm einfach nicht mehr weiter und hoffe dass es hier übersichtlicher ist

Answer 1

Hallo,

Die Trapeze haben parallele Seiten von 8 und 6 Einheiten Länge,dazu eine über den Satz des Pythagoras ermittelte Höhe von 5 Einheiten (Wurzel (4²+3²)).

Die Längeneinheiten kannst du aus der Skizze ablesen:

Zwischen A und B sind es sechs, zwischen E und F 8 Längeneinheiten. Betrachte eine Trapezfläche von vorne:

Um die Höhe h zu berechnen, brauchst du zunächst die Länge der Strecke FA:

\(d=\sqrt{(0-3)^2+(-3+4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{9+1+9}=\sqrt{19}\)

Dann berechnest du die Höhe mit dem Satz des Pythagoras:

\(h^2+1^2=(\sqrt{19})^2\\ h^2=19-1=18\\h=\sqrt{18}\approx4,24\)

Ist das soweit klar?

Gruß, Silvia

Comments

Ja endlich ! Vielen vielen dank Ich habe es jetzt endlich verstanden

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Da bin jetzt mal gespannt, wo der Mast steht und wo der Lichtstrahl herkommt der auf J fällt?

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Vielen vielen dank Ich habe es jetzt endlich verstanden

das ist gut!

Brauchst Du jetzt noch Unterstützung bei den Aufgabenteilen h) i) und j)? Falls ja, so stelle möglichst konkrete Fragen! Wo liegen Deine Verständnisprobleme?

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Werner, du willst doch nur auch endlich in Erfahrung bringen, unter welchem Vektor das Licht einfällt ;-)

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Meine Frage war wie der Flächeninhalt jetzt berechnet wird und den Abstand des Punktes j vom fahnenmast berechnen .. das Ergebnis 4,24 ist jetzt die Höhe soweit ich es richtig verstanden habe die wurde mit dem Satz des pythagoras berechnet ?

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4,24 ist die Höhe der Trapeze. Die brauchst du zur Berechnung der Flächeninhalte der beiden trapezförmigen Dachflächen. Die Höhe der beiden Dreiecksflächen kannst du ebenfalls mit dem Pythagoras bestimmen.

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Schonmal zu h):

Der Fahnenmast steht senkrecht auf der Ebene \(BDE\) folglich lässt sich seine Richtung \(\vec f\) über das Kreuzprodukt berechnen. Es ist:$$B=\begin{pmatrix}0\\ 3\\ 3\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}-3\\ 4\\ 0\end{pmatrix}, \quad E=\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 0\end{pmatrix}$$Folglich ist$$\vec{ED} =D -E=\begin{pmatrix}-6\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec{EB} =B-E= \begin{pmatrix}-3\\ -1\\ 3\end{pmatrix}$$Und das Kreuzprodukt ist$$\vec f' = \vec{ED} \times \vec{EB} \times =\begin{pmatrix}-6\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\ -1\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 18\\ 6\end{pmatrix}$$Da es nur auf die Richtung ankommt, dividiere ich \(\vec f'\) durch \(\operatorname{ggT}(6,\,18) = 6\) und erhalte$$\vec f = \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 1\end{pmatrix}$$dann kann man leichter damit rechnen.Da der Mast selbst die Länge \(5\) haben soll (s. hier), bewegt man sich ausgehend vom Fußpunkt \(G(0|\,1|\,0)\) fünf Einheiten Richtung Mastspitze. Die Spitze \(S\) liegt dann bei$$S = G + 5 \cdot \frac{\vec f}{|\vec f|} = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + \frac{5}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 1\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0\\ 5.743\\ 1.581\end{pmatrix}$$Und die Geradengleichung für den Lichtstrahl 'durch' die Spitze \(S\) ist dann $$l:\quad \vec x = S + t\cdot \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -0.5\end{pmatrix}$$Diese bringt man dann mit der Ebene \(BDE\) zum Schnitt. Die Ebenengleichung berechnet sich aus \(\vec f\) und einem der Punkte auf der Ebene$$E_{BDE}: \quad \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 1\end{pmatrix} \vec x = \vec f \cdot B= 12$$Einsetzen der Geradengleichung in \(E_{BDE}\) gibt \(t \approx 1,946\) und damit liegt \(J\) bei$$J: \quad \vec{l}(t=1,946) = S + 1,946\cdot \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -0.5\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix}-1.95\\ 3.80\\ 0.61\end{pmatrix}$$

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OK, habe verstanden...