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Bestimmen Sie die Funktiongleichung einer ganzrationalen Funktion dritten grades, deren Graph im Punkt w(0|2) einen Wendepunkt und im Punkt t(-1|0) einen Tiefpunkt besitzt.

Ansatz:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

W(0|2) Wendepunktf''(0) = 0
  => Punkt (0|2) liegt auf Graphenf(0) = 2
T(-1|0) Tiefpunktf'(-1) = 0
  => Punkt (-1|0) liegt auf Graphenf(-1) = 0

Problem: letzte Zeile, Gleichungen daraus zu formulieren.

Vielen Dank für Antworten im Voraus...





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Hallo,

W(0|2) Wendepunkt:

f(0)=06a0+2b=02b=0b=0f''(0)=0 \Longrightarrow\\ 6\cdot a\cdot 0 +2b=0\\ 2b=0\\b=0


=> Punkt (0|2) liegt auf Graphen:

f(0)=2a03+c0+d=2d=2f(0)=2\Longrightarrow\\ a\cdot 0^3+c\cdot0+d=2\\d=2\\


T(-1|0) Tiefpunkt:

3a(1)2+c=03a+c=03a\cdot (-1)^2+c=0\\ 3a+c=0


=> Punkt (-1|0) liegt auf Graphen:

f(1)=0a(1)3+c(1)+2=0ac+2=0f(-1)=0\Longrightarrow \\ a\cdot(-1)^3+c\cdot(-1)+2=0\\ -a-c+2=0

Jetzt hast du noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Danke, wir lösen das dann mit einer Matrix (mit GTR).

Könntest du mir diese erste Matrix sagen, weil in meinen Lösungen im Buch steht füf f(x) = -x3 + 3x + 2

Ich glaube in meiner Matrix steckt ein kleiner Fehler, wodurch ich am Ende falsche Werte für a, b, d und d herausbekomme.

Update: Habs geschafft, hab bei der 4. Gleichung (4. Zeile der Matrix:) 1 0 0 1 | 2

Warum kommt für die Gleichung oben (= -a - c + 2 = 0) eine 1 für die +2 ?

Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht ;-)

Du hast noch die beiden Gleichungen

3a+c=0c=3a3a+c=0\\c=-3a

und

ac+2=0ac=2-a-c+2=0\\-a-c=-2

Du könntest jetz für c "-3a" in die zweite Gleichung einsetzen...

Aber wenn die es unbedingt als Matrix schreiben willst, reicht auch das:

3 1 | 0

-1 -1 | -2

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Hallo,

0=a*(-1)3+b*(-1)2+c*(-1)+d

Oder was meinst du mit "letzter Zeile"?

:-)

PS

Screenshot_20210921-215548_Desmos.jpg


f(x)=x3+3x+2 f(x)=-x^{3}+3 x+2

Den senkrechten Strich hinter dem = musst du wegdenken. (Das war der Textcursor.)

:-)

Avatar von 47 k

Denke... Ok, das ist dann die Gleichung für Punkt (-1|0)

Und für die anderen 3?

Ich meine die 4 freien Felder rechts in der Tabelle :)

Ich dachte, du meinst die letzte Zeile der Tabelle.

Du hast doch schon alle Zutaten.

f''(0)=0 → 0=6a*0+2b

usw.

Danke, ich versuchs jetzt nochmal

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Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Punkt W(02)(0|2) einen Wendepunkt und im Punkt T(10)(-1|0) einen Tiefpunkt besitzt.

doppelte Nullstelle im Punkt T(10)(-1|0):

f(x)=a(x+1)2(xN)f(x)=a(x+1)^2(x-N)

W(02)(0|2)

f(x)=a(0+1)2(0N)=2f(x)=a(0+1)^2(0-N)=2

a=2Na=-\frac{2}{N}:

f(x)=2N[(x+1)2(xN)]f(x)=-\frac{2}{N}[(x+1)^2(x-N)]

Wendepunkteigenschaft W(0...)(0|...):

f(x)=2N[(2x+2)(xN)+(x+1)2]f'(x)=-\frac{2}{N}[(2x+2)(x-N)+(x+1)^2]

f(x)=2N[2(xN)+(2x+2)+2(x+1)]f''(x)=-\frac{2}{N}[2(x-N)+(2x+2) +2(x+1)]

f(0)=2N[2(0N)+(2)+2(0+1)]=0f''(0)=-\frac{2}{N}[2(0-N)+(2) +2(0+1)]=0

N=2N=2  →     a=1a=-1:

f(x)=(x+1)2(x2)f(x)=-(x+1)^2(x-2)

Unbenannt.JPG

Avatar von 42 k

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