Diagonalisierung einer linearen Abbildung in R3

Question

Wie diagonalisiert man die lineare Abbildung f: ℝ³→ℝ³ mit der Matrix

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$$

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst zuerst die Eigenwerte (EW) der Matrix:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{c}1-\lambda & -1 & 0\\-1 & 1-\lambda & 0\\0 & 0 & 2-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)((1-\lambda)^2-1)$$$$\phantom{0}=(2-\lambda)(\lambda^2-2\lambda)=-\lambda(\lambda-2)^2$$Wir haben also den EW $\lambda_1=0$ und den doppelten EW $\lambda_2=2$.

Den Eigenvektor (EV) zum EW $\lambda_1=0$ bestimmen durch Einsetzen von $\lambda$ in die Matrix der Determinante und Bestimmung des Kerns:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline1 & -1 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & +\text{Zeile 1}\\0 & 0 & 2 & 0 & \colon2\\\hline1 & -1 & 0 & 0 & \Rightarrow x_1=x_2\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & 1 & 0 & \Rightarrow x_3=0\end{array}$$Aus der Lösungsmenge$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_1\\0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$$entnehmen wir den EV $\vec v_1=(1;1;0)^T$.

Die EV zum EW $\lambda_2=2$ bestimmen wir nun durch Einsetzen von $\lambda_2=2$:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline-1 & -1 & 0 & 0\\-1 & -1 & 0 & 0 & -\text{Zeile 1}\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\\hline1 & -1 & -1 & 0 & \Rightarrow x_1=-x_2\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\\0 & 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$Aus der Lösungsmenge$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$entnehmen wir die beiden EV $\vec v_2=(-1;1;0)^T$ und $\vec v_3=(0;0;1)^T$ .

Damit ist die Diagonalisierung klar. Die Eigenvektoren schreiben wir als Spalten in eine Matrix:

$$S\coloneqq\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad S^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12 & \frac12 & 0\\[1ex]-\frac12 & \frac12 & 0\\[1ex]0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$und berechnen damit:$$D=S^{-1}\cdot A\cdot S=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$