Aufgabe: Produktregel: f(x)=x*3*Wurzel x
…
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand erklären wie ich aus dieser Funktion die Produktregel berechne.
Danke schonmal.
Leider kann ich deine Funktion nicht richtig interpretieren
f(x) = x·3·√x
f(x) = x^3·√x
f(x) = x·3√x
Ich weiß es nicht...
die 2te Möglichkeit die sie hier reingeschrieben haben ist es.
Zunächst bräuchte man eigentlich keine Produktregel
f(x) = x^3·x^0.5
f(x) = x^3.5
f'(x) = 3.5·x^2.5
Ableitung über Produktregel
f(x) = 3·x^2·x^0.5 + x^3·0.5·x^-0.5
f(x) = 3·x^2.5 + 0.5·x^2.5
f(x) = 3.5·x^2.5
Über Produktregel kommt also das gleiche heraus
\((x^3\cdot \sqrt{x})'=(x^3)'\sqrt{x}+x^3(\sqrt{x})'=\)
\(=3x^2\sqrt{x}+x^3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=3x^2\sqrt{x}+\frac{1}{2}x^2\sqrt{x}=...\)
Aloha :)
$$\phantom{=}\left(\underbrace{x^3}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt x}_{=v}\right)'=\left(\underbrace{x^3}_{=u}\cdot\underbrace{x^{\frac12}}_{=v}\right)'=\underbrace{3x^2}_{=u'}\cdot\underbrace{x^{\frac12}}_{=v}+\underbrace{x^3}_{=u}\cdot\underbrace{\frac12\,x^{-\frac12}}_{=v'}=3x^{\frac52}+\frac12x^{\frac52}$$$$=\frac72x^{\frac52}=\frac72x^2\sqrt x$$
\( f(x)=x \cdot \sqrt[3]{x}=x \cdot x^{\frac{1}{3}} \)\( f(x)=x \cdot x^{\frac{1}{3}} \)\( f^{\frac{1}{3}}(x)=1 \cdot x^{\frac{1}{3}}+x \cdot \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1}= \)\( =x^{\frac{1}{3}}+\frac{x}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}= \)\( =x^{\frac{1}{3}}+\frac{x}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}}= \)\( =\frac{4 x}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}} \)
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