Hallo,
darf es auch 'ne Vektorgleichung sein? Wähle einen Winkel \(\varphi\) und gehe vom Mittelpunkt unter diesem Winkel zum Umfang des Kreises. Dann hast Du einen Aufpunkt für die Gerade und dann von dort eine 90°-Drehung nach links für den Richtungsvektor. Formal ist das:$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} + \sqrt 2\begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\sin \varphi\\ \cos \varphi\end{pmatrix}t\quad \varphi \in [0;\,2\pi)\\$$und so sieht das aus:
bleibt noch zu erwähnen, dass man das Ganze auch als Normalengleichung schreiben kann$$\begin{aligned}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix} &= \left( \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} + \sqrt 2\begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix}\\ \vec x \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix} &= 3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2\end{aligned}$$und die Koordinatenform der Gleichung ist nur eine andere Schreibweise der Normalform:$$ x\cos\varphi + y\sin\varphi = 3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2$$und zur Kontrolle, das ganze nochmal in Desmos gegossen:
Wenn Du nun die Tangenten suchst, die durch \((0|\,0)\) verlaufen, so bedeutet, das ja nichts anderes, als dass die rechte Seite obiger Gleichung zu \(0\) wird:$$3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2 = 0$$Der Rechenweg ist wie folgt:$$\begin{aligned} 3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2 &= 0 \\ \pm3\sqrt{1-\sin^2 \varphi} + \sin\varphi + \sqrt 2 &= 0 \\ \pm3\sqrt{1-\sin^2 \varphi} &= -\sin\varphi -\sqrt 2 \\ 9 - 9\sin^2\varphi &= \sin^2\varphi +2\sin\varphi\sqrt 2 + 2\\ 10\sin^2\varphi +2\sin\varphi\sqrt 2 -7 &= 0\\ \sin\varphi_{1,2} &= \frac{-2\sqrt 2 \pm \sqrt{8 -4\cdot 10 \cdot (-7)}}{2 \cdot 10}\\ &= \frac{(-2 \pm 12)\sqrt 2}{20}\\ &= \frac{(-1 \pm 6)\sqrt 2}{10}\\ \implies \sin\varphi_1 &= \frac 12\sqrt 2 \quad \sin\varphi_2=-\frac7{10}\sqrt 2 \end{aligned}$$bleibt noch zu beachten, dass es für beide Werte noch einmal zwei Lösungen gibt. Es gibt also zunächst vier Lösungen, die aber noch geprüft werden müssen. Übrig bleibt:$$\sin\varphi_1 = \frac 12\sqrt 2, \quad \cos \varphi_1 =-\frac12\sqrt2\implies y=x$$und $$ \sin\varphi_2=-\frac7{10}\sqrt 2, \quad \cos\varphi_2 = -\frac1{10}\sqrt2 \implies y=-\frac17x$$
Schulmäßiger(!) wird es, wenn man gleich davon ausgeht, dass die gesuchte lineare Gleichung \(y=mx\) ist.
Diese bringt man mit dem Kreis zum Schnitt, löst nach \(x\) auf und wählt den Wert für \(m\), für den es nur eine Lösung für \(x\) gibt:$$\begin{aligned}(x-3)^2 + (mx -1)^2&=2 \\ x^2 - 6x + 9 +m^2x^2 - 2mx + 1 &= 2 \\ x^2(1+m^2) -(6+2m)x +8 &= 0\\x_{1,2} &= \frac{6+2m \pm\sqrt{(6+2m)^2 -4\cdot(1+m^2)\cdot 8}}{2(1+m^2)} \\ \implies (6+2m)^2 -4\cdot(1+m^2)\cdot 8 &= 0 \\ 36 +24m +4m^2 - 32 -32m^2 &= 0\\ -28m^2 +24 m + 4 &= 0 \\ m_{1,2}&= \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4\cdot (-28)\cdot 4}}{2 \cdot (-28)} \\&= \frac{-24 \pm 32}{-56} \\ \implies m_1&=-\frac17 \quad m_2 = 1 \end{aligned}$$das führt also genauso zu den beiden von Dir angegebenen Lösungen.
Gruß Werner
