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Aufgabe:

In der Gleichung (a+1)/(b+c) = b/a sind a und b positive ganze Zahlen und c eine positive reelle Zahl.


Problem/Ansatz:

Zeige: Es gilt c≥1

von

Ergänze in Term "a+1/b+c" eventuell fehlende Klammern.

Wird gemacht :)

2 Antworten

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Beste Antwort

Ich verwende die nach \(c\) aufgelöste Gleichung (siehe abakus)

\(c=(a^2+a-b^2)/b\).

Man betrachte nun die 3 möglichen Fälle

\(a=b,\quad a\leq b-1,\quad a\geq b+1\), die sich daraus ergeben,

dass \(a\) und \(b\) positive ganze Zahlen sein sollen.

Im Falle \(a=b\) bekommt man \(c=1\),

im Falle \(a\leq b-1\) ergibt sich \(c\leq -3\lt 0\), d.h. dieser Fall kommt nicht in Frage.

Im Falle \(a\geq b+1\) erhält man \(c\geq (3b+2)/b\geq 3\).

Damit ist die Behauptung bewiesen.

von 4,0 k

Alles klar vielen vielen Dank!

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Die Gleichung (a+1)/(b+c) = b/a kann man nach c umstellen:

Das Reziproke beider Seiten ergibt

(b+c)/(a+1) = a/b

b+c=a(a+1)/b

c=a(a+1)/b-b=(a^2+a-b^2)/b.

Du musst nun beweisen, dass für alle Paare positiver ganzer Zahlen (a,b) die Beziehung

(a^2+a-b^2)≥b gilt.

Das sollte schwer fallen, denn diese Unleichung ist äquivalent zu a^2+a≥b^2+b, und es lassen sich Paare positiver ganzer Zahlen (a,b) finden, bei denen das nicht gilt

von 30 k

es lassen sich Paare positiver ganzer Zahlen (a,b) finden, bei denen das nicht gilt

aber nicht unter der Bedingung c > 0

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