Zeigen Sie, dass für jedes x \in[-1,1] die Ungleichung √{1+x} ≤ 1+\frac{x}{2} gilt.

Question

Aufgabe:

Zu zeigen ist, dass folgende Gleichung für ein gegebenes Intervall gilt.

Text erkannt:

und surjektiv ist.
(b) Zeigen Sie, dass für jedes \( x \in[-1,1] \) die Ungleichung \( \sqrt{1+x} \leq 1+\frac{x}{2} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht klar, wie man folgendes beweisen kann.

Ich habe es wie folgt versucht:

die Ungleichung habe ich nach x aufgelöst und bin auf x≥0 gekommen.

Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?

Danke, V.

Answer 1

Aloha :)

Quadratzahlen sind immer \(\ge0\). Mit der 2-ten binomischen Formel gilt daher:$$0\le\left(\sqrt{1+x}-1\right)^2=(1+x)-2\sqrt{1+x}+1=2+x-2\sqrt{1+x}\quad\implies$$$$2\sqrt{1+x}\le2+x\quad\implies\quad\sqrt{1+x}\le1+\frac x2$$Damit \(\sqrt{1+x}\) definiert ist, muss \(x\ge-1\) gelten.

Comments

Denkst du, man kann das auch mit der vollständigen Induktion beweisen?

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Auf Anhieb sehe ich keinen ganzzahligen Parameter über den man die Induktion führen könnte.