DGL 1. Ordnung - letzter Schritt, Problem - Hilfe

Question

Aufgabe:

DGL erster Ordnung

Problem/Ansatz:

Habe die DGL fast gelöst komme am Ende nicht drauf wie ich meine EXP-Fkt. richtig auf den rechten Term anwende:

ln(y) = -$\frac{ln(x^2+2)}{2}$ +C

Was kommt beim Rechten Term raus wenn ich die exp-Fnkt. verwende?

Laut Lösung muss folgendes rauskommen: y = $\frac{e^c}{\sqrt{x^2+2}}$

Danke

Comments

Wie lautet die DGL?

---

xy+(x²+2)*y'=0

---

Ist in der Aufgabe gefordert, dass $y>0$ sein soll?

Answer 1

e hoch linke Seite = e hoch rechte Seite

Hinweis: e^a+b = e^a·e^b.

Answer 2

Multipliziere die Gleichung mit 2 und nutze

$2\cdot \ln(y)=\ln(y^2)$

Ergänzung aus meinen Kommentaren:

Dann steht da nach dem exponenzieren:

$y^2=\frac {e^{2C}}{x^2+2}\Rightarrow y=\pm\frac{e^C}{\sqrt{x^2+2}}$

Wenn man sich die Differenzialgleichung anschaut, sieht man,

dass auch die konstante Fkt. $y=0$ eine Lösung ist,

insgesamt ist also die Lösungsschar: $y=c\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+2}}$ mit $c\in \mathbb{R}$.

Comments

aber dann habe ich doch rechts ein 2*C stehen. Komme ich doch wieder nicht weiter

---

Ignoriere den Hinweis.

Kennst da auch das Logarihmegesetz r* ln a = ln a^r ?

Wende es auf r=$-\frac{1}{2}$ an.

---

Dann steht da:

$y^2=\frac {e^{2C}}{x^2+2}\Rightarrow y=\pm\frac{e^C}{\sqrt{x^2+2}}$

---

Wenn man sich die Differenzialgleichung anschaut, sieht man, dass

auch die konstante Fkt. $y=0$ eine Lösung ist, insgesammt ist also

die Lösungsschar: $y=c\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+2}}$ mit $c\in \mathbb{R}$.

Answer 3

Wenn du auf beiden Seiten e hoch machst, bekommst du

y=e^(-ln(x²+2)/2)*e^C

=1/e^(ln(x²+2)/2)*e^C

=e^C/(e^ln(x²+2))¹/2

=e^C/(x²+2)¹/2

=e^C/Wurzel(x²+2)

Somit hättest du die Lösung

y=c/Wurzel(x²+2) y2=-c/Wurzel(x²+2)

wobei c>0, da e^C>0 für alle C aus IR

Comments

Das ist nur die "Hälfte" der Lösungen der DGL.