Mengenlehre - es gilt zu bestimmen!

Question

Aufgabe:

Die Frage kommt auf der Schreibweise der Mengentheorie, M1 & M2 sind jeweils unterschiedliche Mengen.

Bestimmen Sie M1 \ M2,  M2 \ M1 und M1△M2 := (M1 \M2)∪(M2 \M1) für

a) M1 ={n² : n∈N}, M2 ={2ⁿ : n∈N}

(b) M1 = N, M2 = Q

Problem/Ansatz:

Moin, ich bin schon länger am grübeln aber komme einfach nicht drauf. Bei der Aufgabe a) habe ich probiert die natürlichen Zahlen in beide Mengen einzusetzen, jedoch finde ich keine allgemeine Schreibweise. Und bei der Aufgabe b) fehlt mir sogar komplett der Ansatz. Ich freue mich auf jede Hilfe. Vielen Dank im Voraus :)

Comments

Schreib dir mal jeweils die ersten 10 Elemente auf.

Was fällt dir auf? Wo kommt es zu Überschneidungen?

Gesetzmäßigkeit?

---

Ja das habe ich gemacht aber komme da nicht weiter:

a)
M1 = (1, 4, 9, 12, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121…)
M2 = ( 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2064…)

M1\M2 = ( 1, 9, 12, 25, 36, 49, 81, 100, 121…) = ?
M2\M1 = (2, 8, 32, 128…) = ?

(M1\M2)∪(M2 \M1) = (1, 2, 8, 9, 12, 32, 64, 49, 81, 100, 121, 128…) = ?

b)

M1 = ℕ = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10…) = (n : (n∈ℕ \ {0})

M2 = ℚ = (z/n : z∈ℤ ∧ (n∈ℕ \ {0}))

M1\M2 = (n \ (z/n)) = ∅

M2\M1 = (z/n \ n) = ℤ

(M1\M2)∪(M2 \M1) = (ℤ, ∅)

So weit bin ich gekommen (evtl. auch nicht ganz richtig).

Answer 1

z.B.: \(M_2\backslash M_1=\{2^{2n+1}:\; n\in \mathbb{N}\}\) ,

\(M_1\backslash M_2=\{n^2:\;n\) besitzt einen ungeraden Teiler \(\neq 1\}\).

Comments

Vielen Dank erstmal! Gibt es eine Methode wie man auf die 2²ⁿ⁺¹ am besten kommt?

Und du könntest du noch genauer erklären was das bedeutet: {n² : n besitzt einen ungeraden Teiler ≠ 1} ?

Viele Grüße

Answer 2

a)

Die Elemente von M₁ liegen auf einer Parabel, die von M₂ auf einer Exponentialfunktion, und die Funktionen schneiden sich nur bei n = 2 und n = 4.

b)

ℕ ⊂ ℚ d.h. jede natürliche Zahl ist rational aber eine rationale Zahl ist nur natürlich wenn sie zu ℕ gehört...

Comments

die Funktionen schneiden sich nur bei n = 2 und n = 4

Merkst du nicht, wie weit das von der Aufgabenstellung entfernt ist ?

---

Nicht jeder merkt, wie wenig weit.

---

Vielen Dank für die Antwort!

Wie wäre denn die mathematische Schreibweise für die b) ?

---

(b) \(M_1\backslash M_2=\emptyset\) und

\(M_2\backslash M_1=\{\frac{p}{q}:\; p\in\mathbb{Z}\wedge q\in \mathbb{N^*}\wedge (\forall z\in \mathbb{Z}: \, qz\neq p)\}\)

---

Vielen Dank @ermanus das hilft mir sehr. Allerdings die a) konnte ich nicht ganz nachvollziehen, habe mir die Liste aller Teiler angesehen, und konnte kein Gesetz mit ungeraden Teilern feststellen? Gibt es da evtl. noch eine andere Schreibweise oder könntest du das anhand von Beispielen erklären?

Viele Grüße :)

---

Betrachte die Primfaktorzerlegung von \(n\).

Entweder ist der einzige Primfaktor die 2 und damit \(n\)

eine 2-er Potenz oder es kommt eine Primzahl \(\neq 2\) darin vor

und damit hat \(n\) einen ungeraden Teiler.

Da die Primfaktorzerlegungen von \(n\) und \(n^2\) die gleichen

Primzahlen enthalten, folgt meine Aussage.

---

Vielen Dank für die Unterstützung! jetzt ist es klar.