Problem mit der Mengenlehre

Question

Aufgabe:

Folgende Aussagen sind zu beweisen: A,B,C sind Mengen

(A \ B) \ C = A \ (B ∪ C)

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C)

Problem/Ansatz:

Ich komm bei diesem Problem leider nicht weiter. Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Du musst einfach die Definitionen anwenden.

Und dann z.B bei (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C)  erst mal zeigen

(A \ B) \ C ⊆ A \ (B ∪ C).

Sei also x∈(A \ B) \ C

==>   x∈(A \ B)  und   x∉C

==>  x∈A und x∉B und x∉C

==>  x∈A und x∉B∪C

==>  x∈ A \ (B ∪ C).

Bei dem Teil  x∈A und x∉B und x∉C  ==>  x∈A und x∉B∪C

kannst du auch noch genauer argumentieren, etwa so:

x∈A und ( x∉B und x∉C)   [De Morgan !]

==>  x∈A und nicht ( x∈B oder   x∈C)

==>  x∈A und x∉B∪C.

Dann käme jetzt  A \ (B ∪ C) ⊆  (A \ B) \ C dran.