Für jedes f ∈ L(V, V ) gibt es ein g ∈ L(V, V ) mit f ◦ g ◦ f = f

Question

Aufgabe:

Für jedes f ∈ L(V, V ) gibt es ein g ∈ L(V, V ) mit f ◦ g ◦ f = f

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich das beweisen kann.

Comments

Ist dim(V) < ∞      ?

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Was bedeutet L(V,V) ?

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Ich tippe mal:

Menge aller lin. Abb'en von V nach V , häufig

auch mit End(V) bezeichnet.

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ich habe keine weiteren Informationen

Answer 1

Hallo,

ich nehme mal an, V sei endlich-dimensional und alles ist auf Matrizen runtergeschrieben. Dann gibt es für f reguläre Matrizen A und B, so dass $D:=AfB$ eine Matrix ist, deren Einträge alle 0 sind, außer den Diagonalelementen in den Zeilen 1 bis r (Rang), dort steht eine 1. Für eine solche Matrix gilt $DD=D$. Also

$$AfB=D=DD=AfBAfB \Rightarrow f=fBAf$$

Also geht $g=BA$.

Gruß Mathhilf

Comments

V ist ein n-dimensionaler Vektorraum, ist dieser dann endlich? Ja oder

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Ja, endlich Dimensionenal