0 Daumen
163 Aufrufe

Aufgabe:

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cll} \frac{2\left(x_{1}^{2} x_{2}+\sqrt{\left.x_{1}^{2}\left|x_{2}\right|\right)}\right.}{x_{1}^{2}+\left|x_{2}\right|} & , & \left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & , & \left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)

(i) Sei \( x^{0}=\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) beliebig, aber fest. Die Funktionen \( f_{x_{1}^{0}}, f_{x_{2}^{0}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) seien definiert durch \( f_{x_{2}^{0}}\left(x_{1}\right):=f\left(x_{1}, x_{2}^{0}\right) \) bzw. \( f_{x_{1}^{0}}\left(x_{2}\right):=f\left(x_{1}^{0}, x_{2}\right) . \) Zeigen Sie, dass \( f_{x_{1}^{0}} \) und \( f_{x_{2}^{0}} \) stetig sind.


(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) nicht stetig ist.

von

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass Funktionen stetig sind

Stichworte: stetigkeit,stetig

Bildschirmfoto 2021-10-26 um 15.26.07.png

Text erkannt:

Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left\{\begin{array}{cl} \frac{2\left(x_{1}^{2} x_{2}+\sqrt{\left.x_{1}^{2}\left|x_{2}\right|\right)}\right.}{x_{1}^{2}+\left|x_{2}\right|} & , \quad\left(x_{1}, x_{2}\right) \neq(0,0) \\ 0 & , \quad\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0) \end{array}\right. \)
(i) Sei \( x^{0}=\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) beliebig, aber fest. Die Funktionen \( f_{x_{1}^{0}}, f_{x_{2}^{0}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) seien definiert durch \( f_{x_{2}^{0}}\left(x_{1}\right):=f\left(x_{1}, x_{2}^{0}\right) \) bzw. \( f_{x_{1}^{0}}\left(x_{2}\right):=f\left(x_{1}^{0}, x_{2}\right) \). Zeigen Sie, dass \( f_{x_{1}^{0}} \) und \( f_{x_{2}^{0}} \) stetig sind.
(ii) Zeigen Sie, dass \( f \) an der Stelle \( (0,0) \) nicht stetig ist.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hello

zur (i) : Wenn einer der beiden Variablen fest ist, dann kann der Nenner nicht mehr gegen 0 laufen sondern gegen die festgehaltene Variable, der Zähler läuft aber auf jeden Fall gegen 0 also auch insgesamt für jede beliebige Nullfolge konvergiert die Funktion gegen 0


zur (ii): bastell dir eine Folgen xn=(an,bn) die gegen 0 konvergieren aber der Grenzwert, wenn du die Folgen in die Funktion einsetzt, nicht gegen 0 konvergiert

von

Hallo,


ich habe auch das gleiche Problem und kann es leider trotzdem nicht genau lösen. Gibt es ein Lösungsweg, um das nachvollziehen zu können.


Danke im Voraus

Werde ich nachher hochladen :)

Das wäre sehr nett von Ihnen..!

Unbenanntes Bild.png

Hello, hier einmal wie man das ungefähr machen würde.

bei der (i) müsstest du das noch natürlich analog für die andere Funktion zeigen

bei der (ii) ist die hoffentlich klar warum man das so macht? Ansonsten frag nochmal.

Hallo,

danke für den Lösungsweg bisher.. ich habe auch mit der Aufgabe Probleme.

Wäre es möglich die komplette Lösung zu lösen ? Sobald ich die komplette Lösung habe, bringe ich mir dann die Aufgaben selber bei.

Sie bekommen eine positive Bewertung von mir

Danke im Voraus

Das ist doch so gut wie die ganze Aufgabe

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community