Bestimmung der Gleichung einer Parabel

Question

Ich war die letzten 2 Mathestunden krank und verstehe deswegen nicht wie ich diese Aufgabe löse:

Gesucht ist die Gleichung der Parabel f mit den aufgeführten Eigenschaften:

a) A (-1|11), B (0|5), C (2|5) liegen auf f.

b) f geht durch P (2|5) und hat den Scheitelpunkt S (1|2).

c) f ist achsensymetrisch zur senkrechten Geraden x=2, hat eine Nullstelle bei x=5 und geht durch P (0|-5)

d) f hat genau eine Nullstelle bei x=4 und schneidet die y-Achse bei y=8.

Ich würde mich über jede Rückmeldung freuen :)

Answer 1

b) du hast den Scheitelpunkt gegeben, solltest also am besten die scheitelpunktsform verwenden.

y=a*(x-x_{s})^2+y_{s}

Hier den scheitelpunkt einsetzen

y=a*(x-1)^2+2

Jetzt noch den weiteren Punkt einsetzen um a zu bestimmen.

5=a*(2-1)^2+2

5=a+2

a=3

a jetzt zusammen mit dem Scheitelpunkt und die Scheitelpunktsform einsetzen.

y=3*(x-1)^2+2

 =3*(x^2-2x+1)+2

 =3x^2-6x+5

Answer 2

c) f ist achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden x=2, hat eine Nullstelle bei x=5 und geht durch P (0|-5)

1.Weg: Scheitelpunktform der Parabel

f(x)=a*(x-2)^2+b

N(5|0)

f(5)=a*(5-2)^2+b=9a+b

1.)9a+b=0→b=-9a

P (0|-5)

f(0)=a*(0-2)^2-9a=-5a

2.)-5a=-5→a=1    b=-9

f(x)=(x-2)^2-9

2.Weg:  Nullstellenform der Parabel

Die Achsensymmetrie bei x=2 bedeutet Nullstellen bei 5  und bei -1.

p(x)=a*(x-5)*(x+1)

P (0|-5)

p(0)=a*(0-5)*(0+1)=-5a

-5a=-5     a=1

p(x)=(x-5)*(x+1)

d) f hat genau eine Nullstelle bei x=4 und schneidet die y-Achse bei y=8.

Genau eine Nullstelle bedeutet: Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei S(4|0)

f(x)=a*(x-4)^2

f(0)=a*(0-4)^2=16a

16a=8

a=\( \frac{1}{2} \)

f(x)=\( \frac{1}{2} \)*(x-4)^2