berechne Un und On für die Funktion über dem Intervall. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n gegen unendlich?

Question

Aufgabe:

… berechnen sie Un und On für die Funktion f über dem Intervall 1.Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n> unendlich?

a) x+1   I=[0;1] b) 2-x I=[0;2] c) x² I= [0;10] d) f(x)= 2x²+x

Bei der a) habe ich bei beiden Ergebnissen 1,5 raus nur bei der b) weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll: ich habe diese Aufgabe wie folgt berechnet:2/n * f(0)=(2-0/n)

2/n*f(1/n)= (2-1/n)

2/n*f(2/n)=(2-2/n).....

2/n*f(n-1/n)= 2-((n-1)/n)

Weiter weiß ich nicht, denn ich weiß nicht wie ich es zusammen rechnen soll?

Comments

Hallo

wie ist denn Un und On definiert? es sieht erst mal wie Unter und Obersumme au mit n Schritten?

dann müsste da doch eine Summe stehen?

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Da steht eine Formel 1+2+..........+n n*(n+1)/2,1²+2²+.....+n²=n*(n+1)(2n+1)/6

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Hallo

du musst doch erstmal On und Un hinschreiben, danach erst verwendest du diese 2 Formeln. die 1,5 als Grenzwert von Un und On für a) ist 1,5 richtig, für b)2, für c) 100/3 for d) fehlt das Intervall.

Gruß lul

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Ich habe die erste Aufgabe auch nach den Prinzip gerechnet

Answer 1

Wenn du die Untersumme bei b) bilden willst, musst du

zunächst mal beachten, dass das Intervall von 0 bis 2 geht.

Wenn du da für die Untersumme n+1 gleichmäßig verteilte

Teilpunkte wählst, liegen die bei (Funktion ist ja fallend)

0 , 2/n , 4/n , 6/n , ... ,    (2n-2)/n, 2

Die n "Säulen" für die Untersumme haben also die Höhen

(Funktion ist ja fallend)

f(2/n) , f(4/n) , ......    f(2)   oder etwas allgemeiner

f( k*2/n) für k=1 bis n .

Also ist die Untersumme

$$\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot f( \frac{k \cdot 2}{n})=\sum \limits_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot ( 2-\frac{k \cdot 2}{n})=\frac{2}{n}\cdot \sum \limits_{k=1}^{n}( 2-\frac{k \cdot 2}{n})$$

$$=\frac{4}{n}\cdot \sum \limits_{k=1}^{n}( 1-\frac{k}{n})=\frac{4}{n}\cdot (\sum \limits_{k=1}^{n}1-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n})$$

Die Summe der n Einsen gibt n und bei der 2. Summe kann man 1/n rausziehen

$$=\frac{4}{n}\cdot (n-\frac{1}{n}\sum \limits_{k=1}^{n} k)$$

Und für die Summe der k's gilt die Formel n*(n+1)/2 , also

$$=\frac{4}{n}\cdot (n-\frac{1}{n} \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2})=\frac{4}{n}\cdot (n- \frac{ n+1}{2})=\frac{4}{n}\cdot (\frac{ n-1}{2}) =2 \cdot \frac{n-1}{n}$$

Und für n gegen unendlich ist der Grenzwert - wie gewünscht - die Zahl 2.

Comments

Verstehe die Lösung nicht

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Kann die Rechnung nicht variieren? Ich meine ich habe die andere Aufgabe auch n der es gerechnet ich habe das getrennt

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hallo

sag doch bitte mal, wie du Un oder On für eines der Beispiele ausgerechnet hast, dann verstehen wir besser, was du kannst und können dir helfen.

Gruß lul