Berechnen Sie Un und On für die Funktion f über dem Intervall I.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie Un und On für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n-> ∞?

f(x)= x+ 1

I=[1;1]

Problem/Ansatz:

Das ist mein Ansatz. Ich komme hier aber nicht mehr weiter, da ich zwar 1/n ausgeklammert habe, aber dennoch links n habe. Kann mir jemand bitte sagen, was ich falsch gemacht habe bzw. wie ich hier weiterkomme?

Text erkannt:

$f(x)=x+1 \quad I=[0 ; 1] \quad n \rightarrow \infty$
$\quad \begin{aligned} u_{n} &=\frac{1}{n} \cdot\left[\left(\frac{0}{n}+1\right)+\left(\frac{1}{n}+1\right)+\left(\frac{2}{n}+1\right) \cdot \cdot \cdot\left(\frac{n}{n}+1\right)\right] \\ &=\frac{1}{n^{2}}\left[\left(0+\frac{1}{n}\right)+\left(1+\frac{1}{n}\right)+\left(2+\frac{1}{n}\right) \cdot \cdot\left(n+\frac{1}{n}\right)\right] \end{aligned}$

Text erkannt:

$f(x)=x+1 \quad I=[0 ; 1] \quad n \rightarrow \infty$
$\quad U_{n}=\frac{1}{n} \cdot\left[\left(\frac{0}{n}+1\right)+\left(\frac{1}{n}+1\right)+\left(\frac{2}{n}+1\right) \cdot \cdot \cdot\left(\frac{n}{n}+1\right)\right]$
$\quad=\frac{1}{n^{2}}\left[\left(0+\frac{1}{n}\right)+\left(1+\frac{1}{n}\right)+\left(2+\frac{1}{n}\right) \cdot \cdot\left(n+\frac{1}{n}\right)\right]$

Answer 1

Du hast in der letzten Zeile falsch ausgeklammert.

$$U_{n}=\frac{1}{n} \cdot\left[\left(\frac{0}{n}+1\right)+\left(\frac{1}{n}+1\right)+\left(\frac{2}{n}+1\right) \cdot \cdot \cdot\left(\frac{n-1}{n}+1\right)\right]\\=\frac{1}{n^2}(0+1+2+\ldots(n-1))+\frac{1}{n}\cdot n\cdot 1\\=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}{2}+1\\=\frac{1}{n^2}\cdot(\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2})+1\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}+1\\=\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$$

Comments

Danke. Ich komme dennoch nicht zum richtigen Ergebnis. So habe ich weitergerechnet.

(1/n²) * 1/2 * (n-1)*n*(2n-1)

= 1/2* (n-1)/n² * n/n² * (2n-1/n²)

Un= lim (1/2* (n-1/n²) *n/n² * 2n-1/n²

= 1/2*1*1*2 = 1

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Dankeschön!!  Jetzt habe ich es.

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

Bei dir fehlt irgendwo ein Pluszeichen.

Dankeschön!!  Jetzt habe ich es.

Das freut mich.    :-)

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In deiner letzten Klammer muss es übrigens n-1 statt n heißen.

Bei der Obersumme ist es dann n. Dafür fällt dann die erste Klammer weg.