Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist.

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ → ℝ differenzierter mit f'(x) > 0 für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend ist.

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Könnte mir hierbei jemand behilflich sein? Wie geht man vor? Vielen Dank!

Answer 1

Hattet ihr den Mittelwertsatz der Differentialrechnung? dann benutze den.

Gruß lul

Comments

Danke! Mit dem MWS habe ich nun folgendes:

wir wählen x₁, x₂ ∈ ℝ mit x₁ < x₂ und erhalten mit dem Mitttelwertsatz der Differentialrechnung:

f(x₂) - f(x₁) = f'(x)(x₂-x₁) > 0 → f(x₂) > f(x₁), da laut Voraussetzung f'(x) > 0. Somit ist f streng monoton wachsend. Ist dies korrekt?

Es gibt ja zusätzlich noch die Aussage, aus dem MWS abgeleitet:

Sei f: ℝ → ℝ differenzierter mit f'(x) < 0 für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass f streng monoton fallend ist.

Wäre der Beweis (insofern der zuvor korrekt ist) folgender:

wir wählen x₁, x₂ ∈ ℝ mit x₁ > x₂ und erhalten mit dem Mitttelwertsatz der Differentialrechnung:

f(x₂) - f(x₁) = f'(x)(x₂-x₁) < 0 → f(x₂) < f(x₁), da laut Voraussetzung f'(x) < 0. Somit ist f streng monoton fallend.