Zeigen Sie folgende Mengengleichheit:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie folgende Mengengleichheit:
{(x, y, z) ∈ R³ : x + 2y + 3z = 1} = {(1- 2s - 3t, s, t) : s, t ∈ R}.

Answer 1

Hallo

setze y=s, z=t bestimme damit x  aus der Gleichung für den Vektor (x,y,z)

oder die Gleichung ist die Koordinatengleichung einer Ebene,

der Punkt (1,0,0) liegt in der Ebene, die 2 Richtungsvektoren sind  (-2,1,0) und (-3,0,1) bestimmen die Ebene.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Stelle die Bedingung für die Zugehörigkeit zur ersten Menge nach \(x\) um:$$x=1-2y-3z$$und schreibe damit alle Vektoren der Menge auf:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2y-3z\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2s-3t\\s\\t\end{pmatrix}$$Da \(y\) und \(z\) beliebig aus \(\mathbb R\) gewählt werden können, konnten wir sie durch zwei andere Parameter \(s\) und \(t\) ersetzen.