Summenzeichen: Darf ich ein Binom aufteilen?

Question

Aufgabe:

Verwenden Sie die Rechenregeln, um die folgenden Summen möglichst kompakt und ohne Summenzeichen aufzuschreiben.

\( \sum\limits_{i=1}^{n} (i+1)^2\)

Mein Lösungsversuch ist folgender gewesen:

Text erkannt:

b) \( \sum \limits_{i=1}^{n}(i+1)^{2} \)
\( \left(\sum \limits_{i=1}^{n}(i+1)\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n}(i+1)\right. \)
\( \overbrace{\sum \limits_{i=1}^{n} i+\sum \limits_{i=1}^{n} 1}^{n} \)
\( \int \limits_{\text {hkiner Gauss }} \)
\( \frac{n(1+1)}{2}+n \)
\( \frac{\left(n^{2}+3 n\right)}{2} \)
\( \frac{n^{2}+3 n}{2} \)
\( =\frac{n^{4}+6 n^{3}+y n^{2}}{2} \Rightarrow \frac{\frac{n^{2}\left(n^{2}+6 n+9\right)}{2}}{=} \)

Darf man dies nicht machen? Wenn nicht wie löst man diese Aufgabe?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Um deine Frage zu beantworten, schauen wir uns mal die ersten beiden Summanden an.

Du sollst berechnen: \(\quad\sum\limits_{i=1}^2(i+1)^2=2^2+3^2\)

Du hast berechnet:\(\quad\;\;\left(\sum\limits_{i=1}^2(i+1)\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=1}^2(i+1)\right)=(2+3)\cdot(2+3)\)

Offenbar führt eine solche Faktorisierung zu einem falschen Ergebnis.

Du kannst aber das Binom ausrechnen und anschließend die Summe aufteilen:$$\sum\limits_{i=1}^n(i+1)^2=\sum\limits_{i=1}^n(i^2+2i+1)=\sum\limits_{i=1}^ni^2+2\sum\limits_{i=1}^ni+\sum\limits_{i=1}^n1$$

Du könntest auch eine Index-Verschiebung verwenden:$$\sum\limits_{i=1}^n(i+1)^2=\sum\limits_{i=2}^{n+1}i^2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n+1}i^2\right)-1$$

In jedem Fall brauchst du eine geschlossene Formel für die Summe der Quadratzahlen:$$\sum\limits_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Damit erhältst du:$$\sum\limits_{i=1}^n(i+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-1$$

Comments

Guten Abend Tschakabumba

Danke vielmals! Dann habe ich komplett das falsche gerechnet.