Aloha :)
Wir suchen die Werte x∈[0;2], für die folgende Gleichung erfüllt ist:cos2(πx)−cos(πx)=0
Hier bieten sich zwei mögliche Vorgehensweisen an. Zum besseren Verständnis führe ich dir beide vor.
1) Faktorisieren:
Wir klammern cos(πx) auscos(πx)⋅(cos(πx)−1)=0und nutzen den Satz vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer der beteiligten Faktoren 0 ist.cos(πx)=0odercos(πx)=1Wir schauen uns die Cosinus-Funktion an:
Plotlux öffnen f1(x) = cos(π·x)Zoom: x(0…2,2) y(-1,2…1,2)
und lesen folgende Lösungen ab:x=0,5;x=1,5oderx=0;x=2
2) Quadratische Ergänzung:
Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung 41, um anschließend links die zweite binomische Formel anwenden zu können:cos2(πx)−cos(πx)+41=41∣∣∣∣∣2-te binomische Formel links.(cos(πx)−21)2=41∣∣∣∣∣∣⋯cos(πx)−21=±21∣∣∣∣∣+21cos(πx)=21±21={01Auch hier kommen wir zu dem Schluss, dass cos(πx) gleich 0 oder gleich 1 sein muss. Die Lösungen sind daher auch dieselben wir beim ersten Vorgehen mit Faktorisieren.