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Aufgabe: Geben Sie alle Lösungen der Gleichung cos2 ( π x) - cos(π x) = 0 im Intervall [0, 2] an!

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Ausklammern:

cos(pi*x)*(cos(pi*x)-1) = 0

Satz vom Nullprodukt:

....

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Aloha :)

Wir suchen die Werte x[0;2]x\in[0;2], für die folgende Gleichung erfüllt ist:cos2(πx)cos(πx)=0\cos^2(\pi x)-\cos(\pi x)=0

Hier bieten sich zwei mögliche Vorgehensweisen an. Zum besseren Verständnis führe ich dir beide vor.

1) Faktorisieren:

Wir klammern cos(πx)\cos(\pi x) auscos(πx)(cos(πx)1)=0\cos(\pi x)\cdot\left(\cos(\pi x)-1\right)=0und nutzen den Satz vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann 00 ist, wenn einer der beteiligten Faktoren 00 ist.cos(πx)=0odercos(πx)=1\cos(\pi x)=0\quad\text{oder}\quad\cos(\pi x)=1Wir schauen uns die Cosinus-Funktion an:

Plotlux öffnen

f1(x) = cos(π·x)Zoom: x(0…2,2) y(-1,2…1,2)

und lesen folgende Lösungen ab:x=0,5  ;  x=1,5oderx=0  ;x=2\boxed{x=0,5\;;\;x=1,5\quad\text{oder}\quad x=0\;;x=2}

2) Quadratische Ergänzung:

Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung 14\frac14, um anschließend links die zweite binomische Formel anwenden zu können:cos2(πx)cos(πx)+14=142-te binomische Formel links.\left.\cos^2(\pi x)-\cos(\pi x)+\frac14=\frac14\quad\right|\text{2-te binomische Formel links.}(cos(πx)12)2=14\left.\left(\cos(\pi x)-\frac12\right)^2=\frac14\quad\right|\sqrt{\cdots}cos(πx)12=±12+12\left.\cos(\pi x)-\frac12=\pm\frac12\quad\right|+\frac12cos(πx)=12±12={01\cos(\pi x)=\frac12\pm\frac12=\left\{\begin{array}{r}0\\1\end{array}\right.Auch hier kommen wir zu dem Schluss, dass cos(πx)\cos(\pi x) gleich 00 oder gleich 11 sein muss. Die Lösungen sind daher auch dieselben wir beim ersten Vorgehen mit Faktorisieren.

Avatar von 153 k 🚀
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Hallo,

der Cosinus muss 0 oder 1 sein.

Das ist er für 0, π/2, 3π/2 und 2π.

Also muss πx einen der vier Werte annehmen.

x∈{0;0.5;1.5;2}

:-)

Avatar von 47 k

Es gibt vier Lösungen.

Danke für den Hinweis. Ich hatte das π zuerst nicht berücksichtigt.

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