Hallo,
mit Polarform:
\(z^4 = −4 = 4e^{i\pi}~~~;~~~z=r\cdot e^{i\varphi} \)
\(r=\sqrt[4]4=\sqrt2\)
\(\varphi_1=\dfrac{\pi}4\)
\(\varphi_2=\dfrac{3\pi}4\)
\(\varphi_3=\dfrac{5\pi}4\)
\(\varphi_4=\dfrac{7\pi}4\)
Oder mit kartesischen Koordinaten:
\(z^4 = −4 \Rightarrow z^2=\pm 2i\)
\(z=x+iy \Rightarrow z^2=x^2-y^2 + 2xy\cdot i \)
\( x^2-y^2 + 2xy\cdot i =\pm 2i\\ \Rightarrow x^2-y^2=0~~~;~~~2xy=\pm 2\)
\(x^2-y^2=0 \Rightarrow x=\pm y\)
\(2xy=\pm 2 \Rightarrow xy=\pm 1\)
Nun gibt es vier Möglichkeiten:
\(x=1; y=1\) oder \(x=-1; y=1\) oder \(x=-1; y=-1\) oder \(x=1; y=-1\)
\( z_1 = 1+ i~~~;~~~ z_2 = -1+i\\ z_3 = -1-i~~~;~~~z_4 = 1-i \)
☺