\( \sim:=\left\{(k, l) \in M \times M \mid k_{1} \cdot l_{2}=l_{1} \cdot k_{2}\right\} \)
M ist die Menge aller Paare ganzer Zahlen mit 2. Komponente ungleich 0.
Interpretiere die - so für dich - als Brüche k1 / k2 bzw. l1 / l2
Und die Relation bedeutet ja dann , dass die Brüche den gleichen Wert haben.
Formal beweisen kannst du das so:
reflexiv: Für jedes Paar (k1,k2) [k2≠0] muss gelten k1*k2 = k2*k1 ,
was offenbar stimmt.
symmetrisch: Wenn es für die Paare k=(k1,k2) und l=(l1,l2) stimmt,
also k1*l2 = l1*k2 dann auch für die Paare l=(l1,l2) und k=(k1,k2);
denn da heißt es dann ja nur l1*k2 = k1*l2.
ebenso bei "transitiv" , das ist etwas aufwändiger:
Da hast du dann halt 3 Paare
k=(k1,k2) und l=(l1,l2) und (m1,m2) und es ist
k~l und l~m also gilt
k1*l2 = l1*k2 und l1*m2=m1*l2
Da m2 und k2 nicht 0 sind, kannst du multiplizieren
==> k1*l2*m2 = l1*k2*m2 und l1*m2*k2=m1*l2*k2
==> k1*l2*m2 =m1*l2*k2 und jetzt durch l2 [≠0] dividieren
gibt k1*m2 =m1*k2 ==> k~m.
