Äquivalentsrelation einer Relation zeigen

Question

Aufgabe:

Auf der Menge R×R sei eine Relation ∼gegeben durch
(x₁, y₁) ∼(x₂, y₂) :⇔ x₁² + y₁² = x₂² + y₂²

Zeigen Sie, dass ∼eine Äquivalenzrelation ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie man das beweisen soll. Das einzige was ich weiß ist, laut Definition muss man die transitivität, Symmetrie und Reflexivität beweisen.

Aber ich weiß nicht wie. z.B. ist laut Definiton :
a ∼ a transitiv also a-a=0 oder so.

Leider keine Ahnung was in dem Fall a sein soll.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

muss man die transitivität, Symmetrie und Reflexivität beweisen.

So ist es. Fangen wir mal mit Reflexivität an.

Das bedeutet für alle Elemente von ℝ x ℝ   muss jedes mit sich

selbst in der Relation stehen.

Da die Elemente von ℝ x ℝ Paare sind, muss also jedes  Paar (x,y) ∈  ℝ x ℝ

mit sich selbst in der Relation stehen:   (x,y) ~ (x,y)

Nach der Def. bedeutet das x^2 + y^2 = x^2 + y^2

was offenbar richtig ist.

Symmetrie:  Wenn   (x,y) ~ (a,b)  dann auch  (a,b) ~ (x,y) .

Das gilt auch; denn   (x,y) ~ (a,b)

==>   x^2 + y^2 = a^2 + b^2

==>    a^2 + b^2  =  x^2 + y^2

 ==>  (a,b) ~ (x,y) .

So ähnlich beweist du auch die Transitivität.

Comments

Einleuchtender. Ich danke dir sehr