Tangenten am Kreis: Koordinatengleichung bestimmen

Question

Aufgabe:

Lege vom Punkt P die Tangenten an den Kreis und bestimme ihre Koordinatengleichung.

Gegeben: Punkt Q auf Kreis: Q(-5/-3)

Mittelpunkt des Kreises: (0/0)

Punkt P ausserhalb des Kreises: P(8/2)

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll. Die Lösung wäre B1 (13/8), B2(5/-3); 3x + 5y - 34 = 0, 5x-3y - 34 =0

Answer 1

Der Kreis hat wegen Q die Gleichung x²+y²=34.

Alle durch (8|2) verlaufenden Geraden haben die Gleichung y=m(x-8)+2.

Durch Einsetzen in die Kreisgleichung wird daraus x²+(m(x-8)+2)²=34

Löse diese Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter m. Diejenigen m, für die die Gleichung genau eine Lösung besitzt, sind die Anstiege der Tangenten.

Alternative: Der Thaleskreis mit dem Durchmesser OP schneidet den gegeben Kreis in den Berühungspunkten.

Answer 2

k:  \(x^2+y^2=34\) →  \(y^2=34-x^2\)   →   \(y=\sqrt{34-x^2}\)  →  \(y(u)=\sqrt{34-u^2}\)

Der Punkt \((u|\sqrt{34-u^2})\) liegen auf dem Halbkreis \(y=\sqrt{34-x^2}\)

Tangentengleichung:

\(x\cdot u +y\cdot \sqrt{34-u^2}=34\)

Punkt P außerhalb des Kreises: P\((8|2)\)  liegt auf der Tangente:

\(8\cdot u +2\cdot \sqrt{34-u^2}=34\)

\(4\cdot u + \sqrt{34-u^2}=17\)

\(u=3\)    \(y(3)=\sqrt{34-3^2}=5\)

Tangentengleichung:

\(3x+5y=34\)

2. Tangente an den unteren Halbkreis analog.

Comments

1) Gibt es da auch eine Weg mit implizitem Differenzieren?

2) Der Fragesteller will sicherlich auch ganz dringend wissen, wie du von

\(4\cdot u + \sqrt{34-u^2}=17\) auf

\(u=3\) gekommen bist.

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\(k(x,y)=x^2+y^2-34\)

\(k_x(x,y)=2x\)

\(k_y(x,y)=2y\)

\(k'(x)=-\frac{k_x(x,y)}{k_y(x,y)}=-\frac{x}{y}\)

Geradenbüschel durch \((8|2)\):

\( \frac{y-2}{x-8}=m \) 

\(\frac{y-2}{x-8}=-\frac{x}{y}\)

mit Wolfram:  1.) \(y=1+\sqrt{-x^2+8x+1}\) Schnitt mit dem Kreis  \(k:  x^2+y^2=34\)

\(x^2+(1+\sqrt{-x^2+8x+1})^2=34\)

\(x=3\)      \(9+y^2=34\)      \(y=5\)   Der Minuswert gilt nicht wegen der Lage von P.

Nun die Tangente mit der 2 Punkteform der Geraden aufstellen

...........

\(4\cdot u + \sqrt{34-u^2}=17\)

\( \sqrt{34-u^2}=17-4\cdot u |^{2} \)

\(34-u^2=(17-4\cdot u)^2 \)

\(u_1=3\)

\(u_2=5\)   wäre dann auch gleich der Wert des 2.Berührpunktes.