Aloha :)
Wenn eine Funktion \(f(x)\) einen Wendepunkt an der Stelle \(x_0\) hat, dann ist die zweite Ableitung an dieser Stelle gleich \(0\):$$\text{\(f(x)\) hat an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt}\quad\implies\quad f''(x_0)=0$$Im Umkehrschluss heißt das:$$f''(x_0)\ne0\quad\implies\quad\text{\(f(x)\) hat an der Stelle \(x_0\) keinen Wendepunkt}$$
Mit anderen Worten, Kandidaten für Wendepunkte findest du an den Stellen, bei denen die zweite Ableitung gleich \(0\) ist. Ob diese Kandidaten dann wirklich Wendepunkte sind, kannst du z.B. mit der dritten Ableitung prüfen. Wenn die dritte Ableitung für einen Wendepunkt-Kandidaten ungleich \(0\) ist, liegt ein Wendepunkt vor.
In dem konkreten Fall haben wir die zweite Ableitung$$f''(x)=\frac{128\cdot e^{2x}-32\cdot e^{4x}}{(e^{2x}+4)^3}\stackrel!=0$$
Die Exponentialfunktion \(e^{\cdots}\) ist immer positiv. Daher ist der Nenner immer \(\ge4^3=64\) und kann nie \(0\) werden. Wir müssen uns bei der Nullstellensuche also nicht um ein mögliches "Division durch Null"-Problem kümmern. Die Funktion ist genau dort \(0\), wo auch der Zähler \(0\) ist:$$0\stackrel!=128\cdot e^{2x}-32\cdot e^{4x}=32e^{2x}\cdot(4-e^{2x})=32e^{2x}(2-e^x)(2+e^x)$$Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann \(0\), wenn mindestens ein Faktor \(0\) ist. Da ja die Exponentialfunktion immer positiv ist, gilt für alle \(x\), dass \(32e^{2x}>0\) und \((2+e^x)>2\) ist. Der einzige Faktor, der \(0\) werden kann, ist der mittlere:$$2-e^x=0\implies x=\ln(2)$$
Wir haben also nur einen Kandidaten für einen Wendepunkt. Wegen \(f'''(\ln(2))=-2\ne0\) handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle.
