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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Zu zeigen:$$(a_n)\to a\text{ und }(b_n)\to b\quad\implies\quad (a_nb_n)\to ab$$
Schritt 1: Zeige, dass eine konvergente Folge beschränkt ist.
Da \((a_n)\to a\), gibt es ein \(n_0\), sodass \(|a_n-a|<1\) für alle \(n\ge n_0\). Unter Verwendung der Dreiecksungleichung folgt:$$|a_n|=|a+a_n-a|\le|a|+|a_n-a|\le|a|+1\quad;\quad n\ge n_0$$Sei \(M_a:=\max\{|a_1|, |a_2|, \ldots, |a_{n_0-1}|, (|a|+1)\}\), dann gilt \(|a_n|\le M_a\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).
Schritt 2: Zeige die Konvergenz der Produktfolge und ihren Grenzwert.
Nach Schritt 1 sind \((a_n)\) und \((b_n)\) beschränkt, d.h.$$|a_n|\le M_a\quad;\quad |b_n| \le M_b\quad\text{für alle }n\in\mathbb{N}$$Wir setzen \(M\coloneqq\max\{M_a,M_b\}\). Wegen der Konvergenz der Folgen gibt es zu jedem \(\varepsilon>0\) natürliche Zahlen \(n_a\) und \(n_b\), sodass$$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2M}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_a\quad;\quad |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2M}\;\;\text{für}\;\;n\ge n_b$$Für alle \(n>=\max\{n_a,n_b\}\) gilt dann:$$|a_nb_n-ab|=|a_n(b_n-b)+(a_n-a)b|\le|a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|$$$$\phantom{|a_nb_n-ab|}<M\frac{\varepsilon}{2M}+\frac{\varepsilon}{2M}M=\varepsilon\quad\checkmark$$Also konvergiert die Produktfolge \((a_n\cdot b_n)\) gegen \(a\cdot b\).
