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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge
an : =(3+n)2n+1(n+1)2n+4. a_{n}:=\frac{(3+n)^{2}}{n+1}-\frac{(n+1)^{2}}{n+4} .
konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.


Problem/Ansatz:

ich habe den Grenzwert bestimmt der müsste bei 7 liegen. Allerdings bin ich mit dem zeigen ein wenig überfordert.

Wie es im Prinzip funktioniert weiß ich, allerdings kriege ich es bei dieser Aufgabe einfach nicht hin.

Es soll mit der Epsilon-Definition bewiesen werden.

Bin über jede Hilfe dankbar.

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Hallo :-)

Zunächst kannst du ja deinen Ausdruck zu an=35+30n+7n24+5n+n2 a_n=\frac{35 + 30 n + 7 n^2}{4 + 5 n + n^2} vereinfachen.

Es soll mit der Epsilon-Definition bewiesen werden.

Die lautet hier ja so: ε>0 NεN nNNε : an7<ε\forall \varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}:\quad |a_n-7|<\varepsilon.

Nebenrechungen:

an7=35+30n+7n24+5n+n27=35+30n+7n27(4+5n+n2)4+5n+n2=35+30n+7n22835n7n24+5n+n2=75n4+5n+n2=5n74+5n+n25n+74+5n+n27n+74+5n+n2=7(n+1)(n+1)(n+4)=7n+47nnNε7Nε<!ε |a_n-7|=\left |\frac{35 + 30 n + 7 n^2}{4 + 5 n + n^2}-7 \right|=\left |\frac{35 + 30 n + 7 n^2-7\cdot (4 + 5 n + n^2)}{4 + 5 n + n^2} \right|\\=\left |\frac{35 + 30 n + 7 n^2-28 -35 n -7 n^2}{4 + 5 n + n^2} \right|=\left |\frac{7 -5n }{4 + 5 n + n^2} \right|=\left |\frac{5n-7 }{4 + 5 n + n^2} \right|\leq \left |\frac{5n+7 }{4 + 5 n + n^2} \right|\\ \leq \left |\frac{7n+7 }{4 + 5 n + n^2} \right|=\left |\frac{7(n+1) }{(n+1)(n+4)} \right|=\frac{7}{n+4}\leq \frac{7}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}}{\leq } \frac{7}{N_{\varepsilon}}\stackrel{!}{<}\varepsilon

Wähle also NεNN_{\varepsilon}\in \N mit Nε>7εN_{\varepsilon}>\frac{7}{\varepsilon}. Dass so ein NεNN_{\varepsilon}\in \N existiert, folgt aus dem Archimedischen Axiom, falls du das noch begründen sollst...

Jetzt hast du also ein NεNN_{\varepsilon}\in \N mit Nε>7εN_{\varepsilon}>\frac{7}{\varepsilon} gefunden.

Nebenrechnungen Ende

Für den finalen Beweis:

Sei ε>0\varepsilon>0 beliebig und wähle NεNN_{\varepsilon}\in \N mit Nε>7εN_{\varepsilon}>\frac{7}{\varepsilon}. Dann gilt für alle nNNεn\in \N_{\geq N_{\varepsilon}} an7=...[Nebenrechnungen]...<ε. |a_n-7|=...[\text{Nebenrechnungen}]...<\varepsilon.

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Um sowas mit ε\varepsilon zu machen, ist es ratsam, zuerst einmal das allgemeine Folgenglied so weit wie es geht zu vereinfachen.

Eine Variante geht so:

an=((n+1)+2)2n+1((n+4)3)2n+4a_n = \frac{((n+1)+2)^{2}}{n+1}-\frac{((n+4) - 3)^{2}}{n+4}

=(n+1)2+4(n+1)+4n+1(n+4)26(n+4)+9n+4= \frac{(n+1)^2 + 4(n+1) + 4}{n+1}-\frac{(n+4)^2-6(n+4)+9}{n+4}

=n+1+4+4n+1(n+46+9n+4)= n+1 +4 + \frac 4{n+1} -\left(n+4 - 6 + \frac 9{n+4}\right)

=7+4n+19n+4= 7 + \frac 4{n+1} - \frac 9{n+4}

Das sieht schonmal schick aus und wir "sehen", dass du mit dem Grenzwert 7 recht hast.

Sei nun ε>0\varepsilon > 0

an7=4n+19n+4\left|a_n - 7\right|=\left|\frac 4{n+1} - \frac 9{n+4}\right|

4n+1+9n+4\leq \frac 4{n+1} + \frac 9{n+4}

<4n+9n=13n<!ε< \frac 4{n} + \frac 9{n}=\frac{13}n \stackrel{!}{<} \varepsilon

Also wählen wir Nε>13εN_{\varepsilon} > \frac{13}\varepsilon.

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