Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge
\( a_{n}:=\frac{(3+n)^{2}}{n+1}-\frac{(n+1)^{2}}{n+4} . \)
konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Problem/Ansatz:

ich habe den Grenzwert bestimmt der müsste bei 7 liegen. Allerdings bin ich mit dem zeigen ein wenig überfordert.

Wie es im Prinzip funktioniert weiß ich, allerdings kriege ich es bei dieser Aufgabe einfach nicht hin.

Es soll mit der Epsilon-Definition bewiesen werden.

Bin über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Hallo :-)

Zunächst kannst du ja deinen Ausdruck zu \( a_n=\frac{35 + 30 n + 7 n^2}{4 + 5 n + n^2} \)vereinfachen.

Es soll mit der Epsilon-Definition bewiesen werden.

Die lautet hier ja so: \(\forall \varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}:\quad |a_n-7|<\varepsilon\).

Nebenrechungen:

$$ |a_n-7|=\left |\frac{35 + 30 n + 7 n^2}{4 + 5 n + n^2}-7 \right|=\left |\frac{35 + 30 n + 7 n^2-7\cdot (4 + 5 n + n^2)}{4 + 5 n + n^2} \right|\\=\left |\frac{35 + 30 n + 7 n^2-28 -35 n -7 n^2}{4 + 5 n + n^2} \right|=\left |\frac{7 -5n }{4 + 5 n + n^2} \right|=\left |\frac{5n-7 }{4 + 5 n + n^2} \right|\leq \left |\frac{5n+7 }{4 + 5 n + n^2} \right|\\ \leq \left |\frac{7n+7 }{4 + 5 n + n^2} \right|=\left |\frac{7(n+1) }{(n+1)(n+4)} \right|=\frac{7}{n+4}\leq \frac{7}{n}\stackrel{n\geq N_{\varepsilon}}{\leq } \frac{7}{N_{\varepsilon}}\stackrel{!}{<}\varepsilon $$

Wähle also \(N_{\varepsilon}\in \N\) mit \(N_{\varepsilon}>\frac{7}{\varepsilon}\). Dass so ein \(N_{\varepsilon}\in \N\) existiert, folgt aus dem Archimedischen Axiom, falls du das noch begründen sollst...

Jetzt hast du also ein \(N_{\varepsilon}\in \N\) mit \(N_{\varepsilon}>\frac{7}{\varepsilon}\) gefunden.

Nebenrechnungen Ende

Für den finalen Beweis:

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(N_{\varepsilon}\in \N\) mit \(N_{\varepsilon}>\frac{7}{\varepsilon}\). Dann gilt für alle \(n\in \N_{\geq N_{\varepsilon}}\) $$ |a_n-7|=...[\text{Nebenrechnungen}]...<\varepsilon. $$

Answer 2

Um sowas mit \(\varepsilon\) zu machen, ist es ratsam, zuerst einmal das allgemeine Folgenglied so weit wie es geht zu vereinfachen.

Eine Variante geht so:

$$a_n =  \frac{((n+1)+2)^{2}}{n+1}-\frac{((n+4) - 3)^{2}}{n+4} $$

$$= \frac{(n+1)^2 + 4(n+1) + 4}{n+1}-\frac{(n+4)^2-6(n+4)+9}{n+4}$$

$$= n+1 +4 + \frac 4{n+1} -\left(n+4 - 6 + \frac 9{n+4}\right)$$

$$= 7 + \frac 4{n+1} - \frac 9{n+4}$$

Das sieht schonmal schick aus und wir "sehen", dass du mit dem Grenzwert 7 recht hast.

Sei nun \(\varepsilon > 0\)

$$\left|a_n - 7\right|=\left|\frac 4{n+1} - \frac 9{n+4}\right| $$

$$\leq \frac 4{n+1} + \frac 9{n+4}$$

$$< \frac 4{n} + \frac 9{n}=\frac{13}n \stackrel{!}{<} \varepsilon$$

Also wählen wir \(N_{\varepsilon} > \frac{13}\varepsilon\).