Um sowas mit ε zu machen, ist es ratsam, zuerst einmal das allgemeine Folgenglied so weit wie es geht zu vereinfachen.
Eine Variante geht so:
an=n+1((n+1)+2)2−n+4((n+4)−3)2
=n+1(n+1)2+4(n+1)+4−n+4(n+4)2−6(n+4)+9
=n+1+4+n+14−(n+4−6+n+49)
=7+n+14−n+49
Das sieht schonmal schick aus und wir "sehen", dass du mit dem Grenzwert 7 recht hast.
Sei nun ε>0
∣an−7∣=∣∣∣∣∣n+14−n+49∣∣∣∣∣
≤n+14+n+49
<n4+n9=n13<!ε
Also wählen wir Nε>ε13.