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Aufgabe/Ansatz:

Hallo, liebe Mitglieder :) es geht um eine vermeintlich eher einfache Aufgabe (es gibt auch nicht sehr viele Punkte dafür). Die Aufgabenstellung lautet:

Seien n,m ∈ ℕ0 und es wird definiert n! = n · (n-1) · (n-2)... 2 · 1.
Zeigen Sie: Für 0 ≤ m ≤ n gilt \( \begin{pmatrix} n\\m \end{pmatrix} \) = \( \frac{n!}{(n-m)!·m!} \)

Ich stehe hierbei wirklich auf dem Schlauch. Da n über m wird ja so als Formel definiert, was ja schon da steht.
Was kann man denn da zeigen? Geht es evtl um die 0 ≤ m ≤ n? Das n ≤ m kann ja im Prinzip nicht sein, Negativität ebenfalls nicht... Es könnte sein n = m = 0, aber wie zu zeigen?... Hat da jemand eine Idee und könnte sie mir darlegen?


Vielen Dank für eure Hilfe und einen schönen Sonntag!

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Was bedeutet \(n\choose m\)?

Da n über m wird ja so als Formel definiert

Kann man machen. Muss man nicht. Schau in der Definition aus deinen Unterlagen nach.

Erstmal vielen Dank für die rasche Antwort. Genau das habe ich bereits getan, bin es mehrfach durchgegangen, und kann dazu nichts weiteres finden. Auch eine Suche über das Internet führt mich immer wieder zu der oben angegeben Schreibweise.

Deshalb stelle ich die Frage hier im Forum.

Vielleicht könntest du die Definition aus deinen Unterlagen abtippen und hier veröffentlichen. Dann könnten mehrere Leute draufschauen und nach Diskrepanzen suchen.

Nun ja da steht eben nur: \( \begin{pmatrix} n\\m \end{pmatrix} \) = \( \frac{n!}{(n-m)!m!} \)

Deshalb verstehe ich nicht was zu zeigen ist...

Hat es evtl was mit der Definition zu tun: n! = n · (n-1) · (n-2)... 2 · 1

Wäre das nicht \( \prod_{j=1}^{m}{ \frac{n+1-j}{j}  } \)

Aber auch da komme ich nicht weiter, falls das in die richtige Richtung geht.

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)

Diese von dir angegebene Formel wird oft als Definition des Binomialkoeffizienten angegeben. Daher wäre es wichtig zu wissen, wie ihr den Binomialkoeffizienten definiert habt. Ich vermute, ihr habt den Binomialkoeffizienten über seine Bedeutung in der Kombinatorik definiert.

Die Kernidee des Binomialkoeffizienten

Wir haben \(n\) Objekte und wollen daraus genau \(k\) Objekte (ohne Zurücklegen) auswählen. Die Anzahl dieser Auswahlmöglichkeiten bezeichnen wir mit \(\binom{n}{k}\).$$\binom{n}{k}\coloneqq\text{Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen.}$$

Randbedingungen

$$\binom{n}{0}=1\quad;\quad\binom{n}{n}=1$$

zu 1) Es gibt immer nur eine Möglichkeit, kein Objekt auszuwählen, wir erhalten dann die leere Menge.

zu 2) Es gibt immer nur eine Möglichkeit, alle Objekte auszuwählen.

Rekursionsgleichung

Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus \((n+1)\) Objekten genau \(k\) auszuwählen? Zur Beantwortung stellen wir uns vor, wir hätten \(n\) Objekte und würden dazu ein neues Objekt dazulegen. Dann gibt es 2 Möglichkeiten.

a) Das neue Objekt wird ausgewählt. Dann müssen aus den \(n\) alten Objekten noch genau \((k-1)\) ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k-1}\) Möglichkeiten.

b) Das neue Objekt wird nicht ausgewählt. Dann müssen aus den \(n\) alten Objekten genau \(k\) Objekte ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten.

Das bedeutet mit Binomialkoeffizienten geschrieben:$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$$

Berechnungsformel für den Binomialkoeffizienten

Wir zeigen nun dass die Beziehung$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$$sowohl die Randbedingungen$$\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\cdot(n-0)!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1\quad\checkmark\quad;\quad\binom{n}{n}=\frac{n!}{n!\cdot(n-n)!}=\frac{n!}{n!\cdot1}=1\quad\checkmark$$

als auch die Rekursionsgleichung erfüllt:

$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-(k-1))!}$$$$\qquad=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\cdot\frac{(n-k+1)}{(n-k+1)}+\frac{n!}{(k-1)!\cdot(n-k+1)!}\cdot\frac{k}{k}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot(n-k+1)}{k!\cdot\underbrace{(n-k)!\cdot(n-k+1)}_{=(n-k+1)!}}+\frac{n!\cdot k}{\underbrace{(k-1)!\cdot k}_{=k!}\cdot(n-k+1)!}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot n-n!\cdot k+n!}{k!\cdot(n-k+1)!}+\frac{n!\cdot k}{k!\cdot(n-k+1)!}=\frac{n!\cdot n\,\cancel{-n!\cdot k}+n!\,\cancel{+n!\cdot k}}{k!\cdot(n-k+1)!}$$$$\qquad=\frac{n!\cdot n+n!}{k!\cdot(n-k+1)!}=\frac{n!\cdot(n+1)}{k!\cdot(n+1-k)!}=\frac{(n+1)!}{k!\cdot((n+1)-k)!}=\binom{n+1}{k}\quad\checkmark$$Damit ist die Gültigkeit der Berechnungsformel bewiesen.

Avatar von 148 k 🚀

Wow, vielen Dank! Das kann ich so gut nachvollziehen, das ist doch aufwendiger als zuerst gedacht.

Also nochmals danke, vor allem für die Aufschlüsselung der Teilschritte und die gute Erklärung!!

Ich wünsche noch einen schönen Sonntag ☺

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