Zeige, dass | ∑(k=m bis n) (e^{ikx})/k | ≤ 2/(m sin(x/2))

Question

Ich soll zeigen, dass | ∑(k=m bis n) (e^{ikx})/k | ≤ 2/(m sin(x/2)) für alle x ∈ (0,2π) und alle n,m ∈ IN mit n > m > 1.

wobei e^{ikx} = s_k(x) - s_k-1(x) mit s_k(x) := ∑ (k=1 bis n) e^ikx

(b) Wie folgert man daraus, dass die Reihe ∑ (k=1 bis ∞) (e^{ikx})/k genau für alle x ∈ IR mit x ≠ 2*π*j, j ∈ ℤ konvergiert.

Answer 1

$$  \left| \sum_{k=m}^n \frac{e^{ikx}}{k} \right| \le \frac{1}{m} \left( \left| \sum_{k=1}^n \frac{e^{ikx}}{k} \right| + \left| \sum_{k=1}^{m-1} \frac{e^{ikx}}{k} \right| \right) \le \frac{2}{m \cdot \sin\left( \frac{x}{2} \right)} $$ wegen

https://www.mathelounge.de/501101/die-reihe-k-1-bis-e-ikx-k#a501667