Integralaufgabe mit unbekanntem Parameter

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=x³-c mit c>0. Und hat einen Flächeninhalt von 9FE berechnen sie den Wert für c .

Comments

Und hat einen Flächeninhalt von 9FE

Was hat einen solchen Flächeninhalt?

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Vom Duplikat:

Titel: Integral Berechnung besonderer Typ

Stichworte: integral

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=x³-c mit c>0. Ihr Graph mit den beiden Koordinatenachsen im vierten Quadranten einen Flächeninhalt von 9FE berechnen sie den Wert für c .

Answer 1

Wenn es um die Fläche geht die im IV. Quadranten gebildet wird.

f(x) = x³ - c = 0 --> x = c^(1/3)

F(x) = 1/4·x⁴ - c·x

∫ (0 bis c^(1/3)) f(x) dx = F(c^(1/3)) - F(0) = (1/4·(c^(1/3))⁴ - c·(c^(1/3))) - (1/4·0⁴ - c·0) = - 9 --> c = 2·√2·3^(3/4) = 6.447

Answer 2

Hallo,

wenn du die Funktionsschar skizzierst, siehst du, dass die Intervallgrenzen bei x = 0 und der Nullstelle der Funktion liegen.

Berechne zunächst die Nullstelle:

$\begin{aligned} x^{3}-c &=0 \\ x^{3} &=c \\ x &=\sqrt[3]{c}=c^{\frac{1}{3}} \end{aligned}$

Bilde die Stammfunktion $F(x)=\frac{1}{4} x^4-cx$

F(0) = 0, also berechnest du $F(c^\frac{1}{3})=-9$.

-9, weil die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.

$\begin{aligned} F\left(c^{\frac{1}{3}}\right) &=\frac{1}{4}\left(c^{\frac{1}{3}}\right)^{4}-c \cdot c^{\frac{1}{3}} \\ &=\frac{1}{4} c^{\frac{4}{3}}-c^{\frac{4}{3}} \\ &=-\frac{3}{4} c^{\frac{4}{3}} \end{aligned}$

$\begin{aligned}-\frac{3}{4} c^{\frac{4}{3}} &=-9 \\ c^{\frac{4}{3}} &=12 \\ \sqrt[3]{c^{4}} &=12 \\ c^{4} &=1728 \\ c &\approx6,45 \end{aligned}$

Gruß, Silvia