Funktionsgrenzwerte an endlichen und unendlichen Stellen berechnen

Question

Aufgabe:

… Funktionsgrenzwerte an endlichen und unendlichen Stellen berechnen

Problem/Ansatz:

f(x) = sin( (π(x²+1)) / (2x² + x + 9) )

Gesucht ist: lim (x →1) von f(x) und lim (x →+∞) von f(x)

Beim ersten habe ich einfach 1 in die f-Funktion eingesetzt und 1/2 kam raus. Ich weiß nicht, ob man das so machen darf.

Beim zweiten weiß ich aber nicht wie ich das rechenn soll, also nicht nur große Werte einsetzen und "vermuten", was der Grenzwert sein könnte, sondern wirklich nachrechnen/beweisen.

Könnte jemand bitte helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\frac{\sin(\pi(x^2+1))}{2x^2+x+9}$$

Deine Idee für den Grenzwert $x\to1$ ist gut, du kannst den Wert einfach einsetzen:$$\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)=\frac{\sin(2\pi)}{12}=\frac{0}{12}=0$$

Die Grenzwerte für $x\to\pm\infty$ sind nicht ganz so einfach zu bestimmen, da die Sinus-Funktion alterniert, also ihr Vorzeichen gerne wechselt. Da die Sinus-Funktion aber immer Werte aus dem Intervall $[-1|1]$ liefert, können wir $f(x)$ nach unten und nach oben abschätzen:$$-1\le\sin(\pi(x^2+1))\le+1\implies-\frac{1}{2x^2+x+9}\le\frac{\sin(\pi(x^2+1))}{2x^2+x+9}\le+\frac{1}{2x^2+x+9}$$$$\implies-\frac{1}{2x^2+x+9}\le f(x)\le+\frac{1}{2x^2+x+9}$$

Für $x\to\pm\infty$ werden die Nenner der linken und rechten Grenze unendlich groß, sodass beide Grenzen gegen $0$ konvergieren. Daher muss auch die Funktion $f$ gegen $0$ konvergieren:

$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\pm\frac{1}{2x^2+x+9}\right)=0\quad\implies\quad\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0$$

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f₁(x) = sin(π·(x²+1))/(2x²+x+9)Zoom: x(-10…10) y(-0,12…0,12)

Comments

Danke, das hat wirklich geholfen :)