Fragen zu Binomialkoeffizienten

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen?

Gilt immer - gilt nie - es kommt darauf an

b) Die Summe der Binomialkoeffizienten in einer Zeile des Pascal-Dreiecks lässt sich als Zweierpotenz schreiben.

→ stimmt; allerdings fehlt mir ein Nachweis

c) Binomialkoeffzienten wie (5,3) = (5 * 4 * 3)/(1 * 2 * 3) berechnet man als Brüche. Sie brauchen deswegen nicht ganzzahlig sein.

→ ? k. A.

e) In jeder Zeile des Pascal-Dreiecks findet man Gleichheiten der Form (5,2) = (5,3).

→ ? k. A.

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ ist gleich der Anzahl an Möglichkeiten, von $n$ Objekten genau $k$ ohne Zurücklegen auszuwählen.

zu b) gilt immer, denn

eine Menge mit $n$ Elementen besitzt genau $2^n$ Teilmengen.

zu c) gilt immer, denn

die Anzahl an Auswahlmöglichkeiten ist immer eine natürliche Zahl.

zu e) gilt immer, denn

es gibt genau $\binom{n}{k}$ Möglichkeiten, von den $n$ Objekten genau $k$ auszuwählen. Diese $k$ ausgewählten Objekte kann man nun herausnehmen und die anderen $(n-k)$ Objekte liegenlassen, oder mann lässt die $k$ ausgewählten Objekte liegen und nimmt die $(n-k)$ anderen Objekte heraus. Die Anzahl der Möglichkeiten ist in beiden Fällen gleich $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.